Estimation indirecte de la mortalité adulte à partir des données sur les fratries

Description de la méthode

Cette méthode estime la mortalité adulte indirectement à partir des données fournies par les adultes sur la survie de leurs frères et sœurs adultes (c'est-à-dire leur fratrie). Ces données sont classées par groupe d’âge des répondants. La mortalité peut ainsi être estimée sans que les répondants doivent se rappeler les dates où les décès sont survenus ou les âges au décès des personnes décédées. L’information sur la survie des frères est utilisée pour estimer la mortalité des hommes, celle sur les sœurs pour estimer la mortalité des femmes.

Les répondants sont souvent incapables de déclarer – et ne savent rien sur – leurs frères et sœurs décédés avant ou peu après leur propre naissance. Mais on réduit largement l’impact de ce biais en n’incluant dans l’analyse que la fratrie ayant survécu jusqu’à 15 ans. Pour que la méthode puisse être appliquée, il faut qu’un recensement ou une enquête ait demandé aux répondants adultes (par exemple ceux âgés de 15 à 49 ans) combien de leurs frères et sœurs ont survécu jusqu’à 15 ans et combien d’entre eux sont encore en vie. De nombreuses enquêtes ne recueillent l’information qu’auprès des femmes, mais les données fournies par les hommes peuvent être analysées exactement selon les mêmes méthodes.

Les répondants ont des frères et sœurs approximativement du même âge qu’eux en moyenne. La proportion des frères et sœurs ayant survécu jusqu’à 15 ans qui sont encore en vie à la date d’enquête est un bon estimateur de la probabilité conditionnelle de la table de mortalité de survivre de 15 ans jusqu’à l’âge actuel des répondants.

Si la mortalité a évolué au fil du temps, les rapports de survie estimés reflètent des taux de mortalité qui ont affecté chaque cohorte à divers âges et diverses périodes. Une méthode de ‘localisation dans le temps’ a été développée pour estimer combien d’années avant le recensement ou l’enquête chaque proportion de survivants dans les cohortes égale la proportion de survivants par période. Ces intervalles s’accroissent avec l’âge des répondants, s’étageant entre 3 et 13 ans avant la collecte des données. Ainsi, si les rapports de survie estimés à partir des déclarations des répondants des différents groupes d’âge sont traduits en indice courant de la mortalité des adultes, grâce à un système de tables types de mortalité à 1 paramètre, ces statistiques se rapporteront à diverses dates et pourront être utilisées pour retracer l’évolution de la mortalité dans le temps.

Les méthodes des fratries ont un avantage sur les questions concernant les décès survenus dans le ménage, qui nécessitent des recensements ou des enquêtes exceptionnellement larges pour recueillir des informations sur un nombre suffisant de décès dans les ménages dans l’année précédant l’enquête, afin que les estimations de la mortalité soient assez précises pour être utiles. Comme les réponses des enquêtés portent en moyenne sur plusieurs frères et sœurs, et que les estimations sont fondées sur l’ensemble de l’exposition au risque au-delà de 15 ans, la méthode des fratries peut être utilisée dans des enquêtes relativement petites, même si toutes les méthodes d’estimation de la mortalité adulte nécessitent des données sur des milliers de ménages. En outre, il n’est pas indispensable que la population soit fermée à la migration. Les résultats ne seront toutefois pas représentatifs concernant des petits états ou des régions dans lesquels une proportion substantielle de la population aura émigré ou sera composée d’immigrés.

Données nécessaires et hypothèses

Tableaux de données nécessaires

Pour l’estimation de la mortalité des femmes adultes, les répondants âgés de 15 à 49 ans doivent être interrogés sur le nombre de leurs sœurs ayant vécu jusqu’à 15 ans et le nombre de celles-ci encore en vie. A partir des tableaux des réponses à ces deux questions par groupe d’âge des répondants, on peut calculer :

• La proportion de sœurs encore en vie parmi celles ayant vécu au moins jusqu’à leur 15^ème anniversaire, par groupe quinquennal d’âge des répondants. (Ceux qui n’ont pas répondu aux deux questions doivent être exclus du calcul.)

Pour l’estimation de la mortalité des hommes adultes, les répondants âgés de 15 à 49 ans doivent être interrogés sur le nombre de leurs frères ayant vécu jusqu’à 15 ans et le nombre de ceux-ci encore en vie. A partir des tableaux des réponses à ces deux questions par groupe d’âge des répondants, on peut calculer :

• La proportion de frères encore en vie parmi ceux ayant vécu au moins jusqu’à leur 15^ème anniversaire, par groupe quinquennal d’âge des répondants. (Ceux qui n’ont pas répondu aux deux questions doivent être exclus du calcul.)

Les tableaux des nombres de frères et sœurs atteignant 15 ans et encore en vie doivent exclure le répondant en personne. (C’est évidemment toujours le cas quand les répondants sont interrogés sur leur fratrie de sexe opposé). Cette nécessité sera expliquée dans la discussion sur les hypothèses importantes faites par la méthode.

Les tableaux sur la fratrie de même sexe que le répondant (c'est-à-dire les sœurs des femmes et les frères des hommes) doivent être pondérés seulement par les pondérations d’échantillonnage fournies avec les données. Les tableaux sur la fratrie de sexe opposé (c'est-à-dire les frères des femmes et les sœurs des hommes) doivent en outre être pondérés par l’inverse de la taille de la fratrie survivante de même sexe que le répondant. Cette nécessité sera aussi expliquée dans la discussion sur les hypothèses importantes faites par la méthode.

Pour éliminer les ambiguïtés résultant des mariages polygames et des remariages, il est généralement indiqué aux enquêteurs que la ‘fratrie’ concerne les enfants nés de la même mère. Que cela ait été fait ou non, les réponses peuvent généralement être acceptées telles qu’elles sont. Aussi longtemps que les répondants ont le même groupe de parents à l’esprit quand ils répondent aux deux questions sur le nombre de frères et sœurs en vie à 15 ans, d’une part, et encore en vie aujourd’hui, d’autre part, qui sont leurs parents importe peu.

Si on a posé les bonnes questions à la fois aux hommes et aux femmes, les réponses doivent généralement être tabulées séparément de sorte que les deux séries de données fassent l’objet d’un contrôle mutuel.

Des nombreuses Enquêtes démographiques et de santé recueillent des histoires complètes de fratrie auprès des femmes de 15-49 ans. Il est demandé à chaque répondante le nom, le sexe, l’âge de chacun de ses frères et sœurs nés de la même mère, ainsi que son statut de survie et, s’il est décédé, son âge au décès et l’année du décès. Les taux de mortalité toutes causes des hommes et des femmes doivent généralement être calculés à partir de ces historiques par la méthode directe de la fratrie. On pense que la déclaration des décès récents dans la fratrie est plus complète que celle des décès plus anciens et la méthode directe permet de limiter l’analyse aux données des années qui ont précédé immédiatement l’enquête. Il est cependant facile d’effectuer, à partir des historiques complets, les décomptes sommaires que nécessite la méthode indirecte. Si la déclaration des frères et sœurs est à peu près complète, mais que les déclarations des âges au décès et des dates de décès sont très imparfaites, la procédure indirecte peut donner des résultats plus fiables que la procédure directe.

Hypothèses importantes

Une limitation des méthodes de mesure de la mortalité adulte fondées sur les fratries est qu’elles sous-estiment la mortalité dans la mesure où celle-ci forme des grappes au sein des fratries (c'est-à-dire des ensembles de frères et/ou de sœurs nés de la même mère). Ce regroupement en grappes survient chaque fois que les décès sont plus concentrés dans une petite fraction des fratries que sous le seul effet du hasard et il résulte de l’hétérogénéité entre fratries du risque de décès des individus (Zaba and David 1996). Il en résulte un biais vers le bas des estimations de mortalité, simplement parce que les membres des fratries à forte mortalité sont moins nombreux que les membres de fratries à faible mortalité à survivre pour répondre aux questions sur leurs frères et sœurs. Ce biais ne peut pas être complètement corrigé car, à la limite, les ensembles de fratries dont les membres sont tous décédés ne sont déclarés par personne. Il n’est pas possible de savoir combien de ces fratries ont existé ou quelles étaient leurs tailles.

Les estimations de l’évolution de la mortalité seront en conséquence biaisées si l’ampleur des regroupements en grappes parmi les fratries varie avec l’âge. Par exemple, si des caractéristiques communes aux frères et sœurs (par exemple, les facteurs génétiques, le vécu de l’enfance, le statut socioéconomique, les styles de vie et la localisation) influencent fortement la mortalité des adultes d’âge moyen, alors que la mortalité avant 40 ans a une large composante aléatoire, les estimations faites pour les répondants âgés sous-estimeront la mortalité davantage que les données fournies par les répondants plus jeunes, créant ainsi une impression fallacieuse d’augmentation de la mortalité au fil du temps.

La question du biais résultant des réponses multiples aux questions sur les fratries a donné lieu à une abondante littérature. Le problème existe aussi bien dans les données d’enquête que de recensement, car plus un individu est cité dans un recensement, plus il a de chances d’avoir un frère ou une sœur qui le cite dans un échantillon probabiliste. En outre, même dans les enquêtes, il peut arriver que des réponses multiples soient données concernant un même individu. Par exemple, si deux sœurs de la même mère sont interrogées dans le même ménage, il y aura des déclarations multiples concernant les autres membres de la fratrie. La procédure d’analyse standard utilisée, par exemple, dans les rapports EDS s’appuie sur les événements et les durées d’exposition des frères et sœurs cités, en laissant de côté la durée d’exposition de la répondante (survivante) elle-même. Les événements et la durée d’exposition sont pondérés seulement par les pondérations d’échantillonnage du répondant, sans prendre en compte les nombres de répondants survivants potentiels dans la fratrie.

Trussell et Rodriguez (1990) ont démontré mathématiquement que, pour des groupes de fratries de même sexe ayant un risque sous-jacent identique de décéder, le calcul standard qui exclut aussi le répondant du dénominateur des mesures donne des estimations non biaisées de la mortalité. En effet, la réduction du nombre de citations des personnes décédées au numérateur, du fait que les personnes décédées ne peuvent pas se citer l’une l’autre, et l’exclusion des répondants vivants du dénominateur se compensent mutuellement et donnent le risque correct concernant les fratries en tant que groupe.

La question des biais qui pourraient résulter de différences de mortalité en fonction de la taille de la fratrie est liée à la question de la citation multiple. Elle a suscité beaucoup d’intérêt chez les chercheurs car, à la différence d’autres facteurs qui jouent sur le risque au sein des fratries classées par sexe et âge du répondant, la taille de la fratrie de chaque répondant est connue. Si la mortalité ne varie pas avec la taille de la fratrie, les estimations standard sont les mêmes à la fois pour chaque taille de fratrie, y compris les fratries d’une personne qui sont exclues de l’analyse parce que le répondant n’a personne à citer, et pour la population dans son ensemble. Même si la mortalité varie avec la taille de la fratrie, les estimations standard restent sans biais pour chaque taille de la fratrie, comme l’a montré Masquelier (2013). Mais pour obtenir des estimations de la mortalité pour la population, il convient de repondérer les estimations relatives aux fratries de différentes tailles par la prévalence de celles-ci dans la population. Quand les répondants citent les personnes de même sexe, on peut le faire en divisant la proportion de frères ou sœurs survivant depuis 15 ans jusqu’au groupe d’âge à l’enquête par l’ensemble des fratries de même taille. Pour les fratries d’une seule personne, leur mortalité doit être extrapolée à partir de la mortalité dans les fratries plus grandes.

Gakidou et King (2006) soutiennent que, à l’inverse de la démarche standard, les proportions de décédés doivent être estimées pour des fratries incluant le répondant survivant, mais doivent toujours être pondérées en plus par la probabilité qu’elles soient citées – c’est-à-dire par l’inverse du nombre de répondants potentiels qui survivent dans la fratrie. Comme dans la démarche de Masquelier, un ajustement supplémentaire doit aussi être fait pour les fratries non déclarées du fait du décès de tous leurs membres. Dans une analyse des historiques complets de fratries tirés d’enquêtes EDS, Obermeyer, Rajaratnam, Park et al. (2010) estiment que l’absence d’ajustement tenant compte de la probabilité de citation peut biaiser de -20 % les estimations de la mortalité d’ensemble. Toutefois, Masquelier (2013) prétend que Obermeyer et alii ont mal repondéré les données et qu’il en est résulté une surestimation du biais. Il souligne que, si on doit repondérer, il importe d’ajuster seulement pout r tenir compte des citations multiples par les frères et sœurs qui ont survécu à l’âge initial à partir duquel la mortalité est mesurée. Mais il s’interroge en outre sur la réalité de la variation de la mortalité par taille de la fratrie. Il pourrait s’agir d’un artefact dû à l’omission plus fréquente des frères et sœurs décédés dans les historiques relatifs à des fratries plus grandes. C’est pourquoi Masquelier recommande d’utiliser l’approche standard, sans essayer de repondérer les données pour tenir compte de la mortalité différentielle par taille de la fratrie. C’est la démarche que nous adopterons ici.

Les questions sont différentes quand on analyse les citations concernant le sexe opposé (par exemple, les réponses faites par des femmes au sujet de leurs frères). Dans ce cas, le répondant ne fait pas partie du groupe exposé au risque de décéder. Mais le calcul standard donnera encore des résultats biaisés pour l’ensemble de la population si la mortalité des frères est associée au nombre de sœurs, dans l’exemple où c’est l’une d’entre elles qui est interrogée. Concernant les citations par le sexe opposé, il est donc clair qu’il faut pondérer chaque citation par l’inverse du nombre de frères ou sœurs du même sexe que le répondant, comme suggéré par Gakidou and King (2006). Les questions sur la fratrie de sexe opposé ne peuvent évidemment donner aucune information sur les fratries dont les membres vivants n’incluent personne de même sexe que le répondant. L’adoption de cette démarche revient donc à supposer que la mortalité des individus dans de telles fratries est égale à la mortalité du reste de la population. Mais dans les enquêtes qui recueillent des données auprès des deux sexes, chacun d’entre eux fournit cette information sur l’autre, de sorte qu’on peut pondérer les décès et l’exposition au risque déclarés par les répondants par l’inverse de la probabilité que les frères et sœurs dans chaque groupe d’âge soient cités.

La méthode des frères et sœurs adultes permet d’estimer l’évolution de la mortalité à partir des données fournies par les répondants de différents groupes d’âge : plus le répondant est âgé, plus les décès de ses frères et sœurs sont anciens en moyenne. Pour convertir les séries de mesures de la survie obtenues indirectement à partir des données des différents groupes d’âge en un indicateur unique qui puisse être comparé au fil du temps, il faut supposer que le profil de la mortalité adulte par âge est représenté par la table de mortalité standard choisie. Pour estimer la localisation dans le temps de ces mesures, il est en outre supposé que la mortalité a reculé linéairement, en termes de ce standard, au long de la période considérée.

Travaux préparatoires et recherches préliminaires

Avant de débuter l’analyse, il faut vérifier le nombre de répondants ayant déclaré ne pas savoir combien de leurs frères et sœurs avaient atteint 15 ans ou combien d’entre eux étaient encore en vie, ou n’ayant pas répondu du tout aux questions. Le taux de réponse à ces questions est généralement élevé, mais quelques enquêtes ont recueilli des données assez incomplètes pour qu’un biais dû aux non réponses puisse créer un problème important.

Si les questions ont été posées aussi bien aux hommes qu’aux femmes, un contrôle utile de la qualité des données sur la fratrie consiste à établir combien de frères et sœurs sont déclarés, en moyenne, par les répondants de l’autre sexe et à vérifier si le rapport de masculinité à la naissance varie fortement à mesure que l’âge des répondants augmente.

On doit aussi comparer les proportions de frères et sœurs décédés dans les déclarations des répondants hommes et femmes du même âge. La mortalité des individus d’un sexe telle que déclarée par leurs frères doit être égale à la mortalité des mêmes individus telle que déclarée par leurs sœurs. Si ce n’est pas le cas, ce peut être le signe d’un biais important dans les proportions de décédés de l’un ou des deux sexes, du fait de la citation multiple de certaines fratries et du fait qu’aucun des frères et sœurs n’a survécu pour déclarer les autres. Par ailleurs, si les proportions déclarées par les répondants hommes et femmes divergent à mesure que leur âge augmente, ce peut être dû à des différences de genre dans les erreurs de déclaration des âges ou au fait que le sexe qui déclare moins de frères ou sœurs décédés (généralement les hommes) risque davantage d’avoir perdu contact avec sa famille d’origine et tend à supposer à tort que certains de ses frères et sœurs décédés sont encore en vie.

Précautions et mises en garde

• La méthode indirecte de la fratrie a été initialement développée pour estimer la survie des frères et sœurs depuis la naissance (Hill and Trussell 1977). Malheureusement, ces déclarations sont souvent très incomplètes, en particulier pour les frères et sœurs décédés avant ou peu après la naissance du répondant. A la place, on recommande la méthode indirecte de la fratrie adulte, mais elle ne peut fournir que des probabilités de survie de 15 ans à des âges plus avancés de la vie adulte, sous condition que les personnes aient été en vie à leur 15^ème anniversaire. Pour établir une table de mortalité complète, il faut estimer la survie de la naissance à 15 ans, en utilisant des estimations fondées sur une autre source de données.
• Les décès des frères et sœurs n’ont pas lieu en un point du temps mais peuvent être survenus à tout moment entre le 15^ème anniversaire des répondants et la date de leur interview. C’est pourquoi les applications de la méthode indirecte de la fratrie ne peuvent indiquer qu’une évolution lissée de la mortalité adulte et ne sauraient saisir les crises de mortalité de court terme ou les changements brutaux de tendance de la mortalité tels que ceux dus au Sida après le déclenchement d’une épidémie généralisée de VIH.
• Les estimations de mortalité les plus récentes qu’on puisse tirer des données sur les frères et sœurs adultes sont celles faites à partir des informations fournies par les répondants de 20-24 ans. Mais seuls quelques pourcents de leurs frères et sœurs sont décédés et les estimations qu’on peut en tirer ont de larges intervalles de confiance, même dans les enquêtes sur de grands échantillons.
• La procédure indirecte d’estimation de la mortalité adulte à partir de l’information sur la fratrie adulte n’implique pas l’hypothèse d’une population fermée à la migration. Il peut néanmoins être difficile d’interpréter des estimations fondées sur la fratrie concernant la mortalité d’unités géographiques infranationales, comme des zones urbaines et rurales ou des districts, ou des groupes de répondants ayant des caractéristiques socioéconomiques spécifiques. En effet, si les frères et sœurs partagent généralement la même identité ethnique, il arrive fréquemment que les frères et sœurs vivent ailleurs que les répondants et aient des caractéristiques socioéconomiques différentes d’eux. Les estimations relatives aux populations infranationales risquent aussi d’avoir de très larges intervalles de confiance.

Application de la méthode

Etape 1 : Calculer les rapports de survie conditionnelle de la table de mortalité

La procédure d’estimation des indices de la table de mortalité à partir des proportions de frères et sœurs encore en vie est la même que l’on analyse les données relatives aux frères, aux sœurs ou aux uns et aux autres et que les répondants soient les hommes, les femmes ou les deux conjointement. Le fichier Excel ci-joint contient des tableaux pour l’estimation de la survie des hommes et celle des femmes à partir de données fournies par des répondants hommes, femmes et des deux sexes. Il convient de saisir dans les tableaux appropriés le nombre de frères ou de sœurs en vie à 15 ans et le nombre de frères ou de sœurs encore en vie à l’enquête par groupe quinquennal d’âge du répondant, ou les proportions de frères/sœurs en vie à 15 ans qui le sont encore à l’enquête. Les estimations sont établies à partir des données des répondants âgés de 20 à 49 ans.

La survie est estimée entre le 15^ème anniversaire et 15 + n ans, où n est la limite supérieure de chacun des groupes d’âge successifs des répondants. L’équation de régression est la suivante et les coefficients du tableau 1 sont utilisés :

$${}_{n-15}p{}_{15}=a(n)+b(n){}_{5}S{}_{n-5}$$

où ₅S_n-5 représente, pour les répondants âgés de n – 5 à n, la proportion encore en vie des frères et sœurs qui étaient en vie à leur 15^ème anniversaire. Par exemple, si n = 25, la survie de la table de mortalité est estimée sur l’intervalle de 10 ans entre le 15^ème et le 25^ème anniversaire, à partir des données sur la survie des frères et sœurs fournies par les répondants de 20-24 ans.

Tableau 1 Coefficients pour l’estimation de la survie adulte à partir des proportions de répondants ayant des frères ou des sœurs vivants 

n	a(n)	b(n)
25	-0,0003	1,0011
30	-0,1546	1,1560
35	-0,1645	1,1660
40	-0,1388	1,1406
45	-0,1140	1,1168
50	-0,1018	1,1066
Source: Timæus, Zaba and Ali (2001)

Etape 2 : Convertir les rapports de survie en estimations du niveau de mortalité

Pour déduire les tendances de la mortalité à partir d’une série de rapports de survie, _n–15p₁₅, établis pour les répondants de différents groupes d’âge et se rapportant à différentes dates, il faut convertir ceux-ci en un indice commun de mortalité qui puisse être comparé au fil du temps. On le fait en ajustant à chaque mesure une table-type de mortalité logit relationnelle à 1 paramètre, afin de tirer du modèle l’indice de mortalité commun.

Une large gamme d’indices a été utilisée dans ce but, incluant les paramètres de niveau de divers systèmes de tables-types de mortalité, des rapports de survie comme ₃₅p₁₅, qui correspond à l’intervalle d’âge le plus large pour lequel la méthode des fratries adultes fournit des mesures, et l’espérance de vie à 15 ans. Le recours aux paramètres des modèles permet de souligner que la table de mortalité complète est estimée par l’ajustement d’un modèle, plutôt que mesurée directement. La mesure de l’espérance de vie résume la survie sur l’ensemble des âges adultes, alors que le recours à la fonction de survie évite l’extrapolation aux âges avancés à partir des mesures relatives aux adultes plus jeunes. Dans les années récentes, les estimations ont été présentées de plus en plus souvent en termes de probabilité pour une personne de 15 ans de décéder avant 60 ans, ₄₅q₁₅, cette mesure ayant la faveur de plusieurs agences internationales comme indicateur de la mortalité des adultes jeunes et d’âge moyen.

Dans les applications de la méthode de la fratrie adulte présentées ici, les rapports de survie sont convertis en valeurs de α, le paramètre de niveau d’un système de tables-types de mortalité logit relationnelles, puis en estimations dans ces modèles ajustés de la probabilité conditionnelle qu’une personne âgée de 15 ans décède avant son 60^ème anniversaire (₄₅q₁₅), son 50^ème anniversaire (₃₅q₁₅), ou son 40^ème anniversaire (₂₅q₁₅). Le dernier de ces indices se situe au milieu de la série des valeurs de _n–15q₁₅ estimées grâce aux modèles de régression. Le paramètre de la table-type de mortalité est calculé ainsi :

$$\alpha =-\frac{1}{2}\ln \left(1+\frac{\frac{{}_{n-15}p{}_{15}}{l_s(n)}-\frac{1}{l_s(15)}}{1-{}_{n-15}p{}_{15}}\right)$$

où les estimations de _n–15p₁₅ proviennent de l’étape 1 et les

$$l_s(x)$$

 valeurs de sont tirées d’une table de mortalité standard. On obtient donc une série de valeurs de α correspondant aux estimations de la fonction de survie obtenues à partir des données des répondants des différents groupes d’âge. Des valeurs plus élevées de α correspondent à une mortalité plus élevée. Ensuite pour chaque α,

$${}_{x}q{}_{15}=1-\frac{1+e^{2\left(\alpha +Y_s(15)\right)}}{1+e^{2\left(\alpha +Y_s(15+x)\right)}}$$

pour x = 25, 35, et 45.

Le fichier Excel joint permet de calculer α et les trois probabilités de décès en prenant comme standard une des tables-types de mortalité du réseau Général des Nations Unies (1982) ou de l’un des quatre réseaux de Princeton (Coale, Demeny and Vaughan 1983). La table de mortalité standard doit être choisie de sorte qu’elle ait un profil par âge de mortalité adulte qui ressemble à celui de la population étudiée. Une autre table de mortalité peut être utilisée comme standard s’il y a des raisons de croire qu’elle ressemble davantage au profil de la mortalité adulte de la population étudiée. Le standard le mieux adapté peut ne pas appartenir au réseau des tables types qui saisit le mieux la relation entre la mortalité des adultes et celle des jeunes enfants. Si on ne sait rien du profil par âge de la mortalité adulte, nous recommandons d’utiliser le modèle Général des Nations Unies ou le modèle Ouest de Princeton.

Etape 3 : Calculer la localisation dans le temps des estimations

Chaque rapport de survie obtenu par la méthode de la survie des fratries adultes représente une moyenne de la mortalité depuis les 15èmes anniversaires des frères et sœurs. La durée d’exposition est plus longue pour les plus âgés que pour les plus jeunes, mais c’est en moyenne environ n – 18,3 ans (comme expliqué plus loin). Le point du temps où le rapport est égal à la survie du moment dépend du niveau de la mortalité et peut être estimé à partir de la proportion de frères et sœurs encore en vie et de l’âge des répondants.

La seule information supplémentaire dont on ait besoin pour calculer les dates auxquelles se réfèrent les estimations de la mortalité adulte est la date de l’enquête où les répondants ont été interrogés sur la survie de leurs frères et sœurs. Elle peut être calculée comme la moyenne des dates des interviews ou comme le point médian de la période de travail sur le terrain, si les dates exactes des interviews ne sont pas connues.

La localisation estimée est égale à la date du travail de terrain moins T, où T peut être calculé pour chaque estimation grâce à l’équation suivante et les coefficients du tableau 2.

$$T=a(n)-b(n)\ln \left({}_{5}S{}_{n-5}\right)$$

 

Tableau 2 Coefficients pour calculer la localisation dans le temps des estimations de la survie des adultes à partir des proportions de répondants dont les frères et sœurs sont encore en vie 

n	a(n)	b(n)
25	3,23	1,12
30	5,46	1,95
35	7,52	2,78
40	9,38	3,62
45	11,00	4,45
50	12,32	5,28
Source: Timæus, Zaba and Ali (2001)

Exemple

Cet exemple s’appuie sur les données concernant la survie des frères et sœurs recueillies lors de l’Enquête mondiale sur la santé en 2003 au Bangladesh (consultation du 17/11/2012). Cette enquête a collecté des données auprès des hommes et des femmes adultes sur à la fois leurs frères et leurs sœurs. Les réponses des femmes concernant leurs sœurs sont utilisées pour illustrer les calculs nécessaires à la méthode.

Etape 1 : Calculer les rapports de survie conditionnelle de la table de mortalité

Le nombre de sœurs que les répondantes ont déclarées comme survivantes à leur 15^ème anniversaire et le nombre de ces sœurs déclarées comme encore vivantes à la date d’enquête figurent aux deuxième et troisième colonnes du tableau 3. Ces nombres ont été obtenus selon la démarche standard, en ne pondérant les réponses que par les pondérations de l’enquête. Les proportions de sœurs encore en vie à la quatrième colonne sont calculées en divisant les effectifs de la troisième colonne par ceux de la deuxième. Les rapports de survie figurent à la sixième colonne du tableau 3. Ils ont été estimés à partir des proportions de la quatrième colonne et des coefficients de régression du tableau 1. Ainsi, pour les répondantes de 25-29 ans,

$${}_{10}{}^{}p{}_{15}=-\mathrm{0,0003}+\mathrm{1,0011}\times \mathrm{0,9533}=\mathrm{0,9541}.$$

 

Tableau 3 Estimation de la survie des femmes, des dates où ces estimations sont localisées dans le temps, et estimations correspondantes de α et ₂₅q₁₅, partir de la survie de sœurs adultes, Bangladesh, 2003  

Groupe d’âge	Sœurs en vie à 15 ans	Sœurs encore en vie	Proportion en vie (5Sn-5)	n	l (n) l (15)	Niveau (α)	Probabilité de décéder  (25q15)	Date
15-19	871,6	851,8	0,9773
20-24	858,8	818,7	0,9533	25	0,9541	0,517	0,136	2000,0
25-29	964,7	901,1	0,9340	30	0,9251	0,535	0,139	1997,7
30-34	766,9	702,2	0,9156	35	0,9031	0,467	0,128	1995,6
35-39	626,4	554,4	0,8850	40	0,8706	0,473	0,129	1993,5
40-44	552,8	490,7	0,8877	45	0,8774	0,226	0,093	1991,8
45-49	495,9	401,5	0,8095	50	0,7940	0,436	0,124	1989,9

 

Etape 2 : Convertir les rapports de survie en estimations du niveau de mortalité

La septième colonne du tableau 3 contient les valeurs de α, le paramètre de niveau du système de tables types de mortalité logit relationnelles pour une table-type de Princeton, Sud, sexes réunis, e₀=60. La huitième colonne du tableau contient les estimations de ₂₅q₁₅ (la probabilité qu’une personne de 15 ans décède avant son 40^ème anniversaire). Par exemple, α est calculé ainsi à partir de l’estimation de ₁₀p₁₅ pour les femmes :

$$\alpha =-\frac{1}{2}\ln \left(1+\frac{\frac{0,9541}{0,8376}-\frac{1}{0,8557}}{1-0,9541}\right)=0,517.$$

Ayant calculé α, la valeur correspondante de ₂₅q₁₅ est donc

$${}_{25}{}^{}q{}_{15}=1-\frac{1+e^{2(\mathrm{0,517}-\mathrm{0,8899})}}{1+e^{2(\mathrm{0,517}-\mathrm{0,6902})}}=\mathrm{0,136}.$$

Etape 3 : Calculer la localisation dans le temps des estimations

Les dates dans la neuvième colonne du tableau 3 ont été calculées en retranchant la localisation dans le temps des estimations de la date de l’enquête en 2003 au Bangladesh, soit le 30/04/2003. La localisation dans le temps de chaque estimation est calculée à partir du groupe d’âge des répondants et des proportions encore en vie grâce aux équations du tableau 2. Par exemple, pour la première estimation de la survie des sœurs, le calcul est :

$$T=\mathrm{3,23}-\mathrm{1,12}\times ln(\mathrm{0,9533})=\mathrm{3,28.}$$

Diagnostics, analyse et interprétation

Contrôles et validation

Le nombre de répondants qui ont déclaré ne pas savoir combien de leurs frères et sœurs ont atteint l’âge de 15 ans ou combien d’entre eux sont encore en vie ou qui n’ont pas répondu du tout à la question doit être contrôlé avant d’être exclu de l’analyse. Si ce nombre est important, il se peut que l’information donnée par ceux qui ont répondu à ces questions ne soit pas représentative de l’ensemble de la population. En outre, un taux élevé de non réponse peut indiquer que les enquêteurs ou les répondants ont eu des difficultés avec les questions. Il est alors possible que les réponses, même quand elles ont été fournies, ne soient pas fiables. S’il y a un taux élevé de non réponse à une question, il peut être intéressant de savoir si le défaut est concentré sur une minorité d’enquêteurs ou sur un certain type de répondants.

Si l’information sur la survie des frères et sœurs a été obtenue à la fois de répondants hommes et femmes dans un recensement ou une grande enquête, il est recommandé d’établir les proportions de frères et de sœurs encore en vie séparément pour les répondants de chaque sexe en vue de comparer la cohérence des déclarations. La cohérence des déclarations ne garantit pas leur exactitude, mais des différences statistiquement significatives entre les proportions calculées pour les répondants hommes et femmes impliquent qu’au moins un des deux sexes, et peut-être les deux, donnent des réponses inexactes. Il est assez courant que les répondants hommes déclarent moins de frères et sœurs que les répondantes et, en particulier, moins de frères et sœurs décédés. Dans d’autres enquêtes, les deux sexes peuvent déclarer les mêmes nombres de frères et sœurs en vie à 15 ans, mais des nombres différents d’entre eux encore en vie. Le premier type de désaccord peut tenir à des différences dans les erreurs de déclaration des âges, mais pas le second type.

Tout biais dû à l’existence de grappes de mortalité au sein des familles entraine des sous-estimations. Il semble en outre peu vraisemblables que les répondants inventent des frères et sœurs ou qu’ils les déclarent vivants alors qu’ils sont décédés. L’analyse doit donc probablement se concentrer sur les données fournies par le sexe qui déclare les proportions les plus faibles de frères et sœurs vivants.

Interprétation

Les résultats de l’application de la méthode indirecte des fratries adultes aux données de l’Enquête mondiale sur la santé au Bangladesh en 2003 sont représentés graphiquement sur la figure1. L’indicateur de la table de mortalité choisi dans cet exemple est la probabilité de décéder entre 15 et 40 ans.

Les tableaux des proportions des sœurs encore en vie parmi celles qui étaient vivantes à 15 ans, selon les réponses des femmes, et des proportions des frères survivants parmi ceux qui étaient vivants à 15 ans, selon les réponses des hommes, ont été réalisés selon la démarche standard, en pondérant les réponses uniquement par les pondérations de l’enquête. En revanche, les proportions équivalentes concernant les sœurs des hommes et les frères des femmes ont fait l’objet d’une pondération supplémentaire par l’inverse du nombre de frères ou sœurs de même sexe que le répondant.

Figure 1 Evolution de la probabilité de décéder entre le 15ème et le 40ème anniversaire estimée à partir de la survie de la fratrie adulte, Bangladesh, Enquête mondiale sur la santé, 2003

Les quatre séries tendent à fluctuer de façon erratique et suggèrent une hausse de la mortalité adulte au Bangladesh pendant les années 1990. Ceci semble peu vraisemblable et laisse penser que les estimations faites à partir des données des répondants âgés sont biaisées vers le bas par l’omission de frères et sœurs décédés ou par d’autres biais.

Les estimations de la mortalité féminine (c'est-à-dire la mortalité des sœurs) faites à partir des réponses des hommes et des femmes indiquent à peu près le même niveau de mortalité. Mais les estimations de la mortalité masculine (c'est-à-dire la mortalité des frères) faites à partir des réponses des hommes indiquent une mortalité nettement plus faible que les estimations faites à partir des réponses des femmes. Ces dernières estimations suggèrent que la mortalité est à peu près la même pour les hommes et les femmes en début de vie adulte, mais les estimations faites à partir des réponses des hommes suggèrent que les jeunes hommes ont une mortalité nettement plus faible que les jeunes femmes au Bangladesh.

Ces estimations apparaissent clairement de piètre qualité. Elles sous-estiment sans doute fortement la mortalité des jeunes adultes au Bangladesh. Une explication très plausible des discordances apparentes entre les différentes séries d’estimation est que les hommes risquent davantage que les femmes d’omettre des frères et sœurs décédés dans leurs réponses, mais que le biais à la baisse résultant des grappes de mortalité au sein des fratries est plus fort dans les estimations fondées sur les déclarations concernant les fratries de même sexe que les estimations fondées sur les déclarations concernant les fratries de sexe opposé. Les estimations fondées sur les réponses des hommes concernant leurs frères sont particulièrement basses car elles sont sévèrement affectées par les deux biais. A l’inverse, les deux séries féminines sont relativement cohérentes car chacune est sévèrement affectée par un biais mais moins par l’autre. La conséquence de ce schéma d’erreurs, si c’est bien l’explication des différences entre les séries, est que les deux ensembles d’estimations pour les femmes sous-estiment probablement la mortalité davantage que les estimations pour les frères fondées sur les réponses des femmes. Il semble donc possible que la mortalité des jeunes femmes au Bangladesh reste plus élevée que celle des hommes du même âge.

Description détaillée de la méthode

Introduction

Les méthodes développées initialement pour estimer la mortalité à partir des informations sur la survie des frères et sœurs s’appuyaient sur l’idée que, en moyenne, les âges des frères et sœurs sont proches de l’âge du répondant. La proportion de frères et sœurs du répondant encore en vie est donc un bon estimateur de la survie dans la table de mortalité jusqu’à l’âge du répondant (Hill and Trussell 1977; Division de la Population des NU 1984). Malheureusement, l’expérience de terrain a montré que la qualité des données collectées sur les frères et sœurs était souvent médiocre, car les frères et sœurs décédés avant ou peu après la naissance du répondant étaient souvent omis par celui-ci, qui peut ne pas les connaître du tout Blacker and Brass 1983 ; Zaba 1986).

L’intérêt pour l’estimation de la mortalité à partir des données sur la fratrie a été relancé par le développement de la méthode des sœurs pour la mesure de la mortalité maternelle (Graham, Brass, et Snow 1989). Celle-ci nécessite des données sur le nombre de sœurs du répondant ayant survécu jusqu’à 15 ans, le nombre de celles décédées par la suite, et si les sœurs décédées l’ont été pendant une grossesse ou dans les 6 à 8 semaines suivant un accouchement. Le fait de limiter la prise en compte des sœurs à celles qui ont survécu jusqu’à 15 ans exclut les sœurs décédées jeunes et que le répondant risque de ne pas avoir connues ou d’avoir oubliées. Les réponses données aux deux premières de ces questions permettent de calculer les proportions de sœurs encore en vie parmi celles ayant survécu jusqu’à 15 ans par groupe quinquennal d’âge. Ces proportions peuvent être utilisées pour estimer la mortalité féminine adulte toutes causes. Les données comparables sur les frères des répondants peuvent être utilisées pour estimer la mortalité masculine.

La seule information nécessaire pour l’application de la méthode indirecte de la fratrie adulte est donc la donnée résumée sur la proportion de frères et sœurs adultes encore en vie parmi ceux qui ont survécu jusqu’à 15 ans, classée par groupe d’âge des répondants. Comme les frères et sœurs ont environ le même âge en moyenne que les répondants, ces proportions sont à peu près égales à

$$l_x/l_{15}$$

pour les répondants âgés de x. Comme la relation est étroite entre cette mesure et la proportion de frères et sœurs encore en vie parmi ceux ayant survécu jusqu’à l’âge adulte, elle peut être estimée de façon relativement précise, même dans les populations ayant un profil inhabituel de mortalité par âge, comme celles subissant une forte épidémie de VIH.

Exposé mathématique

En utilisant la démarche probabiliste développée par Goodman, Keyfitz et Pullum (1974), Timæus et al. (2001) montrent que, dans une population stable, le nombre de frères et sœurs déjà nés y années avant un répondant aujourd’hui âgé de a est égal à

$${}_{a}V{}_y={\displaystyle \underset{s}{\overset{\omega }{\int }}{e}^{-r(z+a)}f(z)l(z)f(z-y)dz},y\ge 0$$

Equation 1

 

$${}_{a}V{}_y={\displaystyle \underset{s}{\overset{\omega }{\int }}{e}^{-r(z+a)}f(z)l(z-y)f(z-y)dz},y<0$$

Equation 2

où l’équation 1 donne le nombre de frères et sœurs plus âgés et l’équation 2 le nombre de ceux plus jeunes que le répondant, l’intégrale couvrant tous les âges à la naissance des enfants de s à ω, et

z = âge de la mère à la naissance du répondant

f(z – y) = probabilité que les mères des répondants aient une naissance à l’âge z – y, sachant qu’elles ont eu le répondant à l’âge z  

r = taux de croissance dans une population stable.

Noter que dans les équations 1 et 2, f(x) est une distribution des naissances, c'est-à-dire la distribution des âges à la maternité d’une femme donnée, pas la distribution de la fécondité dans l’ensemble de la population.

La proportion de frères et sœurs encore en vie parmi ceux qui survivaient à 15 ans pour les répondants dans un groupe quinquennal d’âge, x à x + 5, est donnée par

$${}_{5}S{}_x^{15+}=\frac{{\displaystyle \underset{x}{\overset{x+5}{\int }}l(a){\displaystyle \underset{15-a}{\overset{\omega -s}{\int }}{}_{a}V{}_{y}l(a+y)dyda}}}{l(15){\displaystyle \underset{x}{\overset{x+5}{\int }}l(a){\displaystyle \underset{15-a}{\overset{\omega -s}{\int }}{}_{a}V{}_{y}dyda}}},x\ge 15$$

Equation 3

Le calcul de la proportion de frères et sœurs en vie pour les répondants d’un âge donné nécessite un modèle de distribution des naissances pour une femme donnée. Hill et Trussell (1977) ont supposé que toutes les mères ont eu les taux de fécondité par âge de la population générale. Ils ont pu ainsi en tirer une distribution par âge des frères et sœurs comme une convolution de la distribution de la fécondité. Toutefois, si les femmes débutent la constitution de leur descendance à un large éventail d’âges, mais compriment ensuite le temps de cette constitution dans une faible fraction de leur période féconde, comme on le voit dans les populations de faible fécondité, on peut s’attendre à ce que la variance de la distribution des naissances soit bien moindre que la variance du schéma de fécondité.

En revanche, en développant la méthode des sœurs, Graham, Brass, et Snow (1989) ont supposé que _aV_y, la distribution des différences d’âge entre frères et sœurs, pouvait être représentée par une distribution normale de moyenne zéro et de variance 80 années-carrées. Cette hypothèse simplifie considérablement la procédure d’estimation de la proportion de frères et sœurs encore en vie, mais elle est difficile à justifier théoriquement. En particulier, la distribution des différences d’âge entre frères et sœurs ne serait normale que si la distribution des naissances de la mère était elle-même normale. L’utilisation d’une distribution normale pour la distribution des différences d’âge entre frères et sœurs est une approximation raisonnable si la distribution des naissances présente un pic (c'est-à-dire

${\sigma }_{}^2$

<35), mais elle est moins satisfaisante quand les distributions des naissances sont plus plates, comme c’est le cas dans les populations de fécondité élevée et moyenne.

Une autre question apparaît dans les populations en croissance ou en décroissance. Goldman (1978) a montré que, dans une population croissante, un individu choisi au hasard parmi ceux dont les mères ont terminé la constitution de leur descendance ont davantage de frères et sœurs plus jeunes qu’eux que de frères et sœurs plus âgés. Le contraire est vrai dans une population décroissante. On peut comprendre ceci intuitivement en considérants des répondants âgés aujourd’hui de 40 ans, dont les mères ont terminé la constitution de leur descendance. Dans une population croissante stable, les répondants seront relativement plus nombreux à avoir des mères jeunes (disons aujourd’hui âgées de moins de 65 ans, si elles ont survécu) que dans une population stationnaire car, au moment de leur naissance, il y aura eu davantage de femmes âgées de moins de 25 ans que dans la population stationnaire correspondante. Mais si les répondants sont des enfants de mères jeunes, ils ont plus de chances d’avoir des frères et sœurs plus jeunes plutôt que plus âgés car leurs mères ont davantage de naissances d’enfants devant elles que derrière elles.

La distribution des différences d’âge entre frères et sœurs n’est donc pas symétrique : sa moyenne est inférieure à zéro dans une population croissante et supérieure dans une population décroissante. Plus précisément, si la variance de la distribution des naissances sous-jacente est

${\sigma }_{}^2$

, la moyenne de la distribution des âges des frères et sœurs est approximativement

$-r{\sigma }_{}^2$

, où r est le taux de croissance de la population. Donc, même si toutes les femmes avaient la même fécondité par âge, la variance de la distribution par âge des frères et sœurs dans une population croissante serait légèrement inférieure au double de la variance de la distribution de fécondité et la distribution aurait une asymétrie positive. Cette distribution a des caractéristiques inverses dans une population décroissante.

En vue de traiter ces questions, Timæus, Zaba et Ali (2001) ont proposé un modèle des différences d’âge entre frères et sœurs qui synthétise les deux démarches précédentes. Sur la base d’une étude des distributions des âges de fratries âgées dans des historiques de naissances recueillis dans 12 enquêtes représentatives nationalement, réalisées dans le cadre de l’Enquête mondiale de fécondité (EMF), ils ont conclu que les variances des distributions de naissances dans le monde en développement s’étagent entre environ 40 et 110 années-carrées. Ils ont ensuite adapté le modèle relationnel de Gompertz de fécondité (Brass 1974, 1981) pour représenter ces distributions de naissances, en fixant le paramètre b dans leur ensemble de modèles à des valeurs qui varient entre 1 et 1,8, afin de générer des distributions de la largeur appropriée (à mesure que b augmente la variance des distributions du modèle diminuent). Pour tenir compte de l’absence d’intervalles entre naissances très courts dans les populations humains, _aV₀ a été mis à 0 et _aV₁ et _aV_–1 à 40 % des valeurs du modèle. La valeur de 40 % correspond à la moyenne des rapports _aV₁ / _aV₂ dans les 12 populations de l’EMF.

Mise en œuvre de la méthode

L’équation 3 doit être calculée numériquement, mais il n’y a pas de raison en principe qu’elle ne puisse pas être résolue directement pour une fonction de survie d’une table de mortalité, en utilisant le solveur d’Excel ou un outil équivalent et une distribution des naissances, _aV_y, qui soit adaptée à la population étudiée. Pour obtenir une solution unique, il faut encore faire une hypothèse sur le profil par âge de la mortalité adulte, par exemple en choisissant le standard dans un système de tables-types de mortalité à 1 paramètre. En pratique, les estimations sont généralement obtenues grâce à des modèles de régression qui ont été ajustés à des données simulées sur la survie des frères et sœurs, générées pour des populations représentant un large éventail de structures par âge, de distribution des naissances et de schémas de mortalité (Timæus, Zaba and Ali 2001). Les coefficients de ces modèles figurent au tableau 1.

Exposé mathématique – localisation dans le temps des estimations

Les méthodes de localisation dans le temps visent à estimer le moment T où les mesures de survie dans les cohortes, qui ont entrainé la proportion de frères et sœurs survivants

$${}_{a}p{}_y^c$$

, sont égales aux mesures équivalentes du moment, _ap_y(T), de sorte que

$$S(a)={\displaystyle \underset{s}{\overset{\omega }{\int }}{}_{a}v{}_y{}_{a}p{}_y(T)dy}$$

où :

$${}_{a}v{}_y=\frac{{}_{a}V{}_y}{{\displaystyle \underset{s}{\overset{\omega }{\int }}{}_{a}V{}_{y}dy}}$$

Si nous désignons par _ag_y le temps moyen écoulé depuis le décès de ceux qui sont décédés entre y et y + a, par définition

$${}_{a}g{}_y=\frac{{\displaystyle \underset{y}{\overset{y+a}{\int }}\left(z-y-a\right)\mu (z)l(z)dz}}{{\displaystyle \underset{y}{\overset{y+a}{\int }}\mu (z)l(z)dz}}$$

Equation 4

où

$$\mu (z)l(z)$$

sont les décès de la table de mortalité à l’âge z. Brass et Bamgboye (1981) montrent que si les schémas de mortalité sont conformes à un système de tables-types de mortalité logit relationnelles à 1 paramètre et que l’évolution de la mortalité adulte est supposée linéaire en α, le paramètre de ce système relationnel de tables-types, le moment où la survie des adultes dans les cohortes est égale à la survie du moment est une moyenne pondérée des durées écoulées depuis le décès des frères et sœurs des répondants :

$$T=\frac{{\displaystyle \underset{x}{\overset{x+5}{\int }}l(a){\displaystyle \underset{s}{\overset{\omega }{\int }}{}_{a}v{}_{y}l(y+a,T)\left(1-{}_{a}p{}_y(T)\right){}_{a}g{}_y}}dyda}{{\displaystyle \underset{x}{\overset{x+5}{\int }}l(a){\displaystyle \underset{s}{\overset{\omega }{\int }}{}_{a}v{}_{y}l(y+a,T)\left(1-{}_{a}p{}_y(T)\right)}}dyda}$$

Equation 5

Cette localisation dans le temps dépend du niveau de la mortalité et des âges des parents, mais elle est indépendante du taux de variation en α. Pour établir l’équation 5, Brass et Bamgboye tirent parti d’une relation entre les variations de la mortalité au fil des âges et au fil du temps qui est propre au système logit relationnel de tables-types, mais il est possible d’arriver à des formules similaires pour T sur la base d’autres hypothèses raisonnables sur l’évolution dans le temps de la mortalité par âge (Palloni, Massagli and Marcotte 1984).

L’équation 5 peut être évaluée numériquement, en utilisant des valeurs de _av_y et pour des mesures de la table de mortalité choisies sur la base de données observées. Pour développer une procédure aisée d’estimation de T à partir des caractéristiques observées d’une population, il faut supposer une relation beaucoup plus simple que celle postulée. Brass et Bamgboye (1981) font valoir que la variation de T avec a dans des intervalles d’âge limités est suffisamment proche de la linéarité pour que tous les répondants dans un groupe quinquennal d’âge puissent être traités comme regroupés à l’âge central N. Ils font valoir ensuite qu’aux âges et aux niveaux de mortalité où les méthodes indirectes sont utilisées pour estimer la mortalité adulte, la force de mortalité s’accroit à peu prés exponentiellement avec l’âge. En conséquence, pour de telles applications, la variation de _ag_y avec y est insignifiante. C’est pourquoi les facteurs de pondération de _ag_y dans l’équation 5 ont peu d’effet et tous les parents adultes peuvent être traités comme si leur exposition au risque débutait à leur âge moyen à l’entrée, M. D’où l’approximation satisfaisante,

$$T={}_{N}g{}_M$$

Si la survie des adultes recule linéairement avec l’âge, de sorte que le même nombre de décès survienne à chaque âge, alors _Ng_M est égal à N/2, quelle que soit la valeur de M. Dans des tables de mortalité moins extrêmes, la mortalité s’accroit avec l’âge plus rapidement que cela et les décès des frères et sœurs sont concentrés aux âges avancés et, en conséquence, dans la portion récente de la période de N années. Ceci signifie que la localisation dans le temps des estimations est plus proche de l’enquête que N/2. En remplaçant

$$\mu (z)l(z)$$

par

$$e^{kz}\mu (y)l(y)$$

dans l’équation 4 et en développant la partie droite en puissances de N, Brass et Bamgboye (1981) démontrent que l’ajustement approprié pour _Ng_M est une fonction du niveau de mortalité tel que mesuré par k et de l’âge des répondants mesuré par N :

$${}_{N}g{}_M\approx \frac{N}{2}\left(1-k\frac{N}{6}\right)$$

Equation 6

Brass et Bamgboye (1981) démontrent aussi que l’hypothèse d’une augmentation exponentielle de la mortalité avec l’âge implique que, dans un système de tables de mortalité logit relationnelles :

$$\frac{e^{kN}}{e^{k_{s}N}}=\frac{{\left({}_{N}p{}_M\right)}^2}{{\left(l_s(M+N)/l_s(M)\right)}^2}$$

En résolvant pour kN et en replaçant cette expression dans l’équation 6, on obtient une estimation de _Ng_M et donc de T :

$$T=\frac{N}{2}\left(1-\frac{\ln \left({}_{N}p{}_M\right)}{3}+\frac{1}{3}\ln \left(\frac{l_s(M+N)}{l_s(M)}\right)-\frac{k_{s}N}{6}\right)$$

Dans cette formulation, les localisations dans le temps des mesures de survie conditionnelle tirées des données sur les frères et sœurs adultes sont estimées à la moitié de la durée d’exposition, N, réduite par un facteur qui dépend du niveau de la survie conditionnelle comparé au niveau de la survie dans une table de mortalité standard.

Ayant obtenu cette expression de T sur une base théorique, Brass (1985) approxime _Np_M par ₅S_x et adopte comme standard une table de mortalité où

$$l_s(x)$$

est linéaire aux âges adultes et est pris égal à (1 – x/80)/2. Comme

$$l_s(x)$$

est linéaire, T = ½N et ks devient nul. T est donc estimé à partir des données observées grâce à

$$T=\frac{N}{2}\left(1-\frac{\ln \left({}_{5}S{}_x\right)}{3}+\frac{1}{3}\ln \left(\frac{80-M-N}{80-M}\right)\right)$$

Equation 7

Dans la méthode de la fratrie adulte, M, l’âge où commence l’exposition au risque est au quinzième anniversaire pour chaque frère et sœur. L’asymétrie de la distribution des différences d’âge entre frères et sœurs signifie que, dans une population croissante, les frères et sœurs sont en moyenne un peu plus jeunes que les répondants. La différence d’âge varie entre environ zéro et 1,75 an dans les populations où on a des chances de vouloir appliquer la méthode. On peut utiliser une valeur centrale de 0,8 an dans toutes les applications. La durée d’exposition au risque, N, devient donc (n – 2.5 – 0.8) – 15, où n est la limite supérieure du groupe d’âge des répondants. Comme M est fixé à 15 ans, l’équation 7 peut être simplifiée pour chaque groupe d’âge en une équation linéaire de la forme Timæus, Zaba et Ali (2001):

$$T=a(n)-b(n)ln\left({}_{5}S{}_{n-5}^{15+}\right).$$

Fonctionnement dans les populations subissant une épidémie généralisée de VIH

L’épidémie de VIH pose deux problèmes pour les méthodes indirectes d’estimation de la mortalité fondées sur la survie de parents. D’une part, les voies sexuelle et verticale de transmission créent des biais significatifs de sélection dans les données recueillies par enquête sur la survie de parents. D’autre part, l’incidence de l’infection de VIH est concentrée chez les jeunes adultes. Les populations avec une importante mortalité par Sida ont des profils de mortalité par âge très différents à la fois des autres populations et des tables-types de mortalité utilisées pour l’obtention des coefficients permettant de convertir les données sur la survie de parents en mesures de la survie des tables de mortalité.

Un avantage majeur de la méthode des fratries pour mesurer la mortalité adulte, comparée à la méthode des proportions d’orphelins, est qu’elle est exempte des biais de sélection résultant de la transmission directe du virus. Il subsiste un biais résiduel dû à l’effet de grappe de la mortalité par Sida au sein des fratries. En particulier, le risque d’infection par le VIH varie fortement entre localités et les frères et sœurs vivent souvent à proximité les uns des autres. L’impact est cependant limité comparé aux biais qui affectent les données que les parents fournissent sur leurs enfants ou vice versa.

Le biais dans les coefficients de régression utilisés pour estimer la survie dans les tables de mortalité est un problème plus important. Par rapport à l’équation 3, c’est la modification du profil de la mortalité par âge des frères et sœurs qui pose problème, et non l’impact de l’épidémie sur la distribution des différences d’âge entre frères et sœurs, puisque le principal facteur de cette distribution est le profil des âges à la naissance des enfants plutôt que la mortalité ou la structure par âge.

Timæus, Zaba et Ali (2001) évaluent la sensibilité des estimations par la méthode de la fratrie adulte à ces problèmes grâce à une combinaison de données empiriques et simulées. Ils trouvent que même en présence d’un profil par âge de la mortalité inhabituel, tel qu’on l’observe dans les populations avec une forte mortalité par Sida, la méthode des fratries adultes donne des estimations de la survie proches des valeurs effectives. Les estimations fondées sur les données de répondants âgés de 20-24 ans et de plus de 40 ans sont extrêmement précises, alors que celles fondées sur les données des répondants âgés de 25-39 ans surestiment légèrement la survie. C’est parce que les coefficients de régression ne réussissent pas à refléter la concentration les décès par Sida dans cet intervalle d’âge.

Pour que les estimations de la survie adulte par la méthode des fratries permettent de suivre l’évolution de la mortalité, il faut ajuster une table-type de mortalité aux estimations pour des intervalles d’âge spécifiques et en tirer un indice se référant à un intervalle d’âge commun. Etonnamment, si on convertit la série complète des estimations en mesures de la survie de 15 à 50 ans, ₃₅p₁₅, celles-ci restent tout à fait précises. Celles obtenues à partir des données de répondants âgés de 25 à 34 ans sont plus précises que les estimations de sur lesquelles elles sont fondées. Les erreurs dues à l’incapacité de tenir compte de l’impact du Sida sur le schéma de mortalité, d’abord en calculant les coefficients, puis en tirant une mesure commune de survie, se compensent en grande partie. Ce résultat vaut quels que soient les caractéristiques générales de la mortalité et le standard de mortalité choisi. Les estimations de ₃₅p₁₅ obtenues par la méthode des fratries adultes représentent sans doute des indices relativement robustes permettant de suivre l’évolution de la mortalité à mesure que l’épidémie de Sida se développe. Comme avec les autres méthodes indirectes, si des ensembles successifs de données sont collectés pour la même population, des contrôles de la cohérence des estimations pour les périodes où elles se recouvrent donnent une indication puissante de la précision des résultats.

Extensions et variantes de la méthode

La plupart des enquêtes qui ont recueilli l’information nécessaire à l’estimation de la mortalité toutes causes des adultes à partir des données sur les fratries adultes ont aussi demandé si les sœurs décédées étaient mortes pendant une grossesse ou peu après un accouchement. Ensemble, ces données fournissent la base pour l’application de la méthode des sœurs permettant d’estimer la mortalité maternelle (Graham, Brass and Snow 1989).

Il est aussi possible de calculer des estimations directes de la mortalité adulte à partir d’historiques détaillés des fratries collectées dans de nombreuses Enquêtes démographiques et de santé et certaines autres enquêtes.

Autres lectures et références

La méthode des fratries adultes n’est pas présentée dans les manuels classiques d’estimation indirecte (Sloggett, Brass, Eldridge et  al. 1994; Division de la Population des NU 1984), mais elle est décrite dans le manuel des Nations Unies sur l’estimation de la mortalité adulte (UN Population Division 2002). La principale référence expliquant la base théorique de la méthode des fratries adultes et le développement des coefficients de régression pour convertir les proportions de frères et sœurs survivants en indice de la table de mortalité est Timæus et al. (2001). L’article passe en revue les contributions antérieures.

 

Blacker JGC and W Brass. 1983. "Experience of retrospective enquiries to determine vital rates," in Moss, L and H Goldstein (eds). The Recall Method in Social Surveys. London: University of London Institute of Education, pp. 48-61.

Brass W. 1974. "Perspectives in population prediction: illustrated by the statistics of England and Wales", Journal of the Royal Statistical Society A137(4):532-583.

Brass W. 1981. "The use of the Gompertz relational model to estimate fertility," Paper presented at International Population Conference, Manila, 1981. Liège. International Union for the Scientific Study of Population. Vol. 3:345-362.

Brass W. 1985. Advances in Methods for Estimating Fertility and Mortality from Limited and Defective Data. London: London School of Hygiene & Tropical Medicine.

Brass W and EA Bamgboye. 1981. The Time Location of Reports of Survivorship: Estimates for Maternal and Paternal Orphanhood and the Ever-widowed. London: London School of Hygiene & Tropical Medicine.

Coale AJ, P Demeny and B Vaughan. 1983. Regional Model Life Tables and Stable Populations. London: Academic Press.

Division de la Population des NU. 1984. Manuel X. Techniques indirectes d’estimation démographique. New York : Nations Unies, Département des affaires économiques et sociales internationales, ST/ESA/SER.A/81. http://unstats.un.org/unsd/demographic/standmeth/handbooks/Manuel_X-fr.pdf

Gakidou E and G King. 2006. "Death by survey: estimating adult mortality without selection bias from sibling survival data", Demography 43(3):569-585. doi: http://dx.doi.org/10.1353/dem.2006.0024

Goldman N. 1978. "Estimating the intrinsic rate of increase of a population from the average numbers of younger and older sisters ", Demography 15(4):499-521. doi: http://dx.doi.org/10.2307/2061202

Goodman LA, N Keyfitz and TW Pullum. 1974. "Family formation and the frequency of various kinship relationships", Theoretical Population Biology 5(1):1-27. doi: http://dx.doi.org/10.1016/0040-5809(74)90049-5

Graham W, W Brass and RW Snow. 1989. "Estimating maternal mortality: The sisterhood method", Studies in Family Planning 20(3):125-135. doi: http://dx.doi.org/10.2307/1966567

Hill K and TJ Trussell. 1977. "Further developments in indirect mortality estimation", Population Studies 31(2):313-334. doi: http://dx.doi.org/10.2307/2173920

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