Ajuster une table-type de mortalité à un couple d’estimations de la mortalité des enfants et de la mortalité adulte

Description de la méthode

Dans des pays où les statistiques sont médiocres et défectueuses, il est souvent impossible d’analyser la mortalité en calculant des séries complètes de taux de mortalité par âge à partir des données disponibles. Cependant, la plupart des pays ont recueilli des données qui peuvent servir à l’estimation de la mortalité des enfants. En particulier, il est généralement possible d’évaluer le quotient de mortalité de la naissance au 5^e anniversaire, ₅q₀. De plus, dans de nombreux pays, on peut utiliser soit les statistiques de l’état civil, soit des données de recensement ou d’enquête pour estimer la mortalité adulte. Habituellement, ces indices de mortalité adulte mesurent la probabilité conditionnelle de survie sur un grand intervalle d’âge (par exemple, ₄₅p₁₅, la probabilité de survie du 15^e au 60^e anniversaire). Dans ce chapitre, nous expliquons comment ajuster un système relationnel logit (associé à une table-type de mortalité) à un couple d’estimations de la mortalité des enfants et de la mortalité adulte relatives à la même année ou à la même période.

Quand on peut estimer à la fois la mortalité des enfants et la mortalité adulte d’une population, il est possible d’ajuster à ce couple d’estimations une table-type de mortalité à deux paramètres qui en intègre les valeurs observées. Ainsi, des modèles à deux paramètres exploitent pleinement les données disponibles dans une telle situation, et, du fait qu’ils reproduisent la relation observée entre les niveaux respectifs de la mortalité des enfants et de la mortalité adulte, ils sont beaucoup mieux à même de décrire la structure par âge de la mortalité de la population étudiée qu’un modèle à un paramètre ajusté sur la seule mortalité des enfants.

Les approches présentées ci-dessous peuvent être appliquées à n’importe quel couple d’indices de mortalité adulte et de mortalité des enfants, pourvu que ce dernier soit exprimé en termes de probabilité de survie à partir de la naissance. Dans la plupart des cas, l’indice observé de mortalité des enfants sera le quotient de mortalité infanto-juvénile, ₅q₀. Par contre, l’indice de mortalité adulte est généralement une probabilité conditionnelle, _np_x, la probabilité de survivre jusqu’à l’âge x + n sous la condition que l’on a déjà survécu jusqu’à l’âge x. Généralement, la limite inférieure de cet intervalle d’âge adulte est plus élevée que la limite supérieure de l’intervalle d’âge sur lequel a été mesurée la mortalité des enfants. Cela rend impossible la conversion directe des probabilités conditionnelles de survie à l’âge adulte en probabilités non conditionnelles. On ne peut donc pas appliquer les méthodes d’ajustement de systèmes relationnels associé à des tables-types de mortalité présentées dans de nombreux manuels proposant une introduction à la modélisation, et on doit recourir à des techniques d’ajustement plus complexes.

Ce chapitre décrit les méthodes qui peuvent être utilisées pour ajuster à un couple d’estimations de mortalité des enfants et de mortalité adulte deux catégories différentes de tables-types de mortalité à deux paramètres. La première série de méthodes se base sur le système relationnel logit associé à des tables-types de mortalité, présenté dans la partie de ce manuel consacrée à l’introduction aux tables-types de mortalité. Nous exposerons trois variantes de cette approche. La « méthode de la greffe » (en anglais : splicing method) utilise différentes tables-types à un paramètre exprimées sous forme logit pour représenter respectivement la mortalité des enfants et celle des adultes (en posant l’hypothèse que β, le paramètre qui caractérise le schéma par âge de la mortalité, est égal à 1 dans chaque modèle) et greffe la table-type de mortalité adulte sur la table-type de mortalité des enfants au niveau du 15^e anniversaire. Deuxièmement, la « méthode logit de Brass » s’appuie sur les deux paramètres de niveau (α) et de structure (β) du système pour déterminer une table de mortalité correspondant à un standard déterminé. Troisièmement, la « méthode logit modifiée », proposée par Murray, Ferguson, Lopez et al. (2003), ajuste, elle aussi, un système relationnel logit à l’aide des deux paramètres α et β, mais utilise sa propre table standard et l’ajuste aux indices estimés de manière à réduire l’effet des variations de β sur la mortalité infantile et la mortalité aux grands âges.

La deuxième série de tables-types de mortalité à deux paramètres est le système « log-quadratique » proposé récemment par Wilmoth, Zureick, Canudas-Romo et al. (2012). Basé sur la régression, c’est un système de modèles de ln(₅m_x). Il n’est pas explicitement relationnel dans sa formulation, mais sa paramétrisation s’appuie sur le vaste corpus de données de mortalité constitué par la Human Mortality Database. On pourrait facilement le reformuler sous forme relationnelle en prenant l’un des modèles comme standard.

Étant donné qu’on a besoin de procédures itératives pour ajuster une table-type de mortalité aux probabilités conditionnelles de survie aux âges adultes, nous n’en donnerons pas ici d’exemple détaillé. Nous renvoyons le lecteur intéressé à la feuille Excel qui est associée au manuel dans sa version en ligne. Cependant, la dernière section de ce chapitre présentera brièvement les résultats de l’application des quatre méthodes à une série d’estimations de la mortalité du Kenya au milieu des années 1980.

Données requises et hypothèses

Pour la mise en œuvre des méthodes exposées dans ce chapitre, on a besoin d’une estimation de la mortalité infanto-juvénile (₅q₀) et d’une estimation de la mortalité adulte sous condition de survie jusqu’au seuil de l’âge adulte (par exemple ₄₅q₁₅ ou ₃₅q₁₅). Ces deux indices doivent se rapporter à la même année ou à la même période. En principe, on pourrait aussi utiliser des probabilités conditionnelles de survie prenant comme seuil de l’âge adulte un autre anniversaire que le 15^e.

Toutes les méthodes décrites dans ce chapitre font appel, explicitement ou implicitement, à une table standard de mortalité, que l’on modifie ensuite pour l’adapter aux valeurs observées. Deux des trois méthodes basées sur le système relationnel logit imposent à l’analyste de choisir une table standard à partir de laquelle il calculera la table-type ajustée. Ces méthodes font donc une hypothèse importante en présumant que ce choix est pertinent. La section consacrée à l’introduction aux tables-types de mortalité donne quelques règles à suivre pour choisir une table standard adéquate.

Mise en garde

Les quatre approches fournissent généralement des estimations assez similaires des indices résumés tels que l’espérance de vie à la naissance. Mais il y a de grandes différences entre les estimations des indices de mortalité par âge auxquelles elles aboutissent. Ces écarts sont souvent les plus grands pour les populations dans lesquelles le rapport entre la mortalité adulte et la mortalité des enfants diffère beaucoup de la moyenne. Pour l’instant, rien ne démontre que l’une de ces approches soit, généralement ou absolument, supérieure aux autres. De nouvelles recherches sont nécessaires à cet égard. Cependant, Murray, Ferguson, Lopez et al. (2003) montrent que le système logit modifié tend à donner de meilleurs résultats que le système original de tables-types de mortalité à deux paramètres, et Wilmoth, Zureick, Canudas-Romo et al. (2012) concluent que les modèles log-quadratique et logit modifié sont aussi performants l’un que l’autre.

Étant donné que toutes ces méthodes s’appuient, explicitement ou implicitement, sur la mortalité d’une population standard, elles ne doivent pas être utilisées pour modéliser la mortalité de populations dont le schéma de mortalité par âge s’écarte nettement de celui du standard choisi. Cet avertissement est surtout important dans le cas de populations fortement touchées par le VIH/sida, car, dans les pays atteints par une épidémie généralisée de VIH, la structure par âge de la mortalité est complètement différente de celles des tables-types de Princeton et des Nations Unies, ainsi que de celles qui sont à la base des systèmes logit modifié et log-quadratique à deux paramètres.

Utilisation de la fonction Solver de Microsoft Excel

Les techniques décrites dans ce chapitre sont conçues pour être utilisées quand les seules mesures de la mortalité adulte disponibles sont soumises à une condition de survie jusqu’à un certain âge pris comme seuil de l’âge adulte. À partir de ce genre d’indices, on ne peut pas déterminer analytiquement quelles estimations des paramètres du modèle produiront les tables-types les plus performantes. Il faut recourir à des méthodes itératives par tâtonnements ou à des fonctions d’optimisation (telles que la fonction Solver de Microsoft Excel) pour mettre en œuvre les méthodes décrites ici, à l’exception de la « méthode la greffe » (splicing method).

Solver n’est pas fourni d’office avec les installations classiques de Microsoft Excel. Pour l’activer, cliquez sur « File → Options → Add-ins → Manage Excel Add-ins → Go … », puis assurez-vous que la case Solver Add-in est cochée.

Les spécifications de la fonction Solver ont été préparées dans la feuille Excel disponible en ligne et associée à ce chapitre, en respectant les conditions et contraintes auxquelles il faut se plier. Pour appliquer cette fonction à la feuille de calcul, cliquez sur « Data → Solver → Solve ». De légers changements de caractéristiques (dans les fenêtres « Set Objective », « By Changing Variable Cells » et « Subject to the Constraints ») sont nécessaires pour calculer d’abord le modèle masculin puis le modèle féminin. On identifie facilement les cellules réservées au calcul de la table de mortalité féminine en examinant celles qui sont réservées au sexe masculin.

Méthode 1 : la « méthode de la greffe »

La « méthode de la greffe » est la plus simple des quatre. Elle ajuste une table de mortalité unique aux estimations de mortalité adulte et de mortalité des enfants fournies comme inputs, en s’appuyant sur une table standard judicieusement choisie. Elle combine deux tables-types de mortalité à un paramètre, l’une pour les enfants, qui s’ajuste parfaitement à l’indice observé de mortalité infanto-juvénile (₅q₀), et l’autre pour les adultes, qui s’ajuste parfaitement à la probabilité conditionnelle observée de survie à l’âge adulte (par exemple ₄₅q₁₅ ou ₃₅q₁₅).

Ces deux tables-types de mortalité, pour les enfants et pour les adultes, sont ensuite greffées l’une à l’autre au niveau du 15^e anniversaire. Cet âge est proche de l’âge auquel la mortalité atteint son niveau minimum dans la plupart des tables de mortalité. Ainsi, chacun de ces deux modèles représente une branche du schéma de mortalité par âge, et, par convention, le 15^e anniversaire est choisi comme ligne de démarcation entre la mortalité des enfants et celle des adultes.

Étape 1.1 : Calcul d’une estimation de α pour la branche de la table de mortalité relative aux enfants

À partir de l’estimation de ₅q₀, on calcule la valeur de α pour la branche relative aux enfants de la table de mortalité (jusqu’à 15 ans exacts) par la formule suivante :

$${\alpha }^{child}=Y(5)-Y^s(5),$$

où Y(5) est le logit du ₅q₀ observé,

$$Y(5)=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{{}_5{q}_0}{1{-}_5{q}_0}\right),$$

et Y^s(5) est son homologue dans la table standard choisie (identifiée par l’exposant s).

Étape 1.2 : Calcul d’une estimation de α pour la branche de la table de mortalité relative aux adultes

On estime la valeur de α pour la mortalité adulte au moyen de la formule suivante :

$${\alpha }^{adult}=\text{logit}{(}_n{p}_{15})-\text{logit}{(}_n{p}_{15}^s)=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{{}_n{q}_{15}^{}}{1{-}_n{q}_{15}^{}}\right)-\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1{-}_n{p}_{15}^s}{{}_n{p}_{15}^s}\right),$$

où le premier terme se calcule à partir de l’indice observé de mortalité adulte sous condition de survie au 15^e anniversaire, _nq₁₅, et le second se calcule au moyen de l’identité suivante :

$${}_n{p}_{15}^s=\frac{l^s{}_{15+n}}{l^s{}_{15}}=\frac{(1+\exp {(2Y^s(15+n))}^{-1}}{{(1+\exp (2Y^s(15)))}^{-1}}=\frac{1+\exp (2Y^s(15))}{1+\exp (2Y^s(15+n))}.$$

Notons que, le paramètre α pour les adultes se rapportant à une table de mortalité qui commence à 15 ans, il n’est pas possible de le comparer directement avec le paramètre α pour les enfants.

Étape 1.3 : Greffe des deux branches de la table de mortalité

Pour greffer les deux branches de la table au niveau du 15^e anniversaire, on doit calculer les logits des probabilités conditionnelles de survie de la table standard à partir de 15 ans,

$${}_a{}^{}p{}_{15}^s$$

, pour a = 5, 10, 15… En utilisant la formule de 

$${}_n{}^{}p{}_{15}^s$$

présentée dans la section précédente pour calculer

$${}_a{}^{}p{}_{15}^s$$

, on obtient :

$$\text{logit}{(}_a{p}_{15}^s)=-\frac{1}{2}\ln \left(\frac{{}_a{p}_{15}^s}{1{-}_a{p}_{15}^s}\right)=-\frac{1}{2}\ln \left(\frac{\left(1+\exp \left(2Y^s(15)\right)\right)/\left(1+\exp \left(2Y^s(15+a)\right)\right)}{1-\left(1+\exp \left(2Y^s(15)\right)\right)/\left(1+\exp \left(2Y^s(15+a)\right)\right)}\right).$$

On calcule enfin la table définitive, dont la racine est 1, de la manière suivante :

Pour tout âge inférieur ou égal à 15 :

$$l(x)=\frac{1}{1+\exp (2({\alpha }^{child}+Y^s(x)))}.$$

À partir de 15 ans (c’est-à-dire aux âges 15 + a avec a = 5, 10, 15…), on multiplie le nombre estimé de survivants à 15 ans de la table (l(15), calculé à partir des valeurs de α pour les enfants) par les probabilités conditionnelles de survie à partir de 15 ans pour obtenir les probabilités non conditionnelles de survie de la manière suivante :

$$l(15+a)=l(15)\cdot {}_a{}^{}p{}_{15}=\frac{l(15)}{1+\exp (2({\alpha }^{adult}+\text{logit}{(}_a{p}_{15}^s))}.$$

Une fois les l(x) calculés, les autres fonctions de la table (entre autres _nm_x, _nL_x et e_x) peuvent être calculées avec les coefficients _na_x appropriés.

Méthode 2 : la méthode logit de Brass

Dans la section consacrée à l’introduction aux tables-types de mortalité, nous avons présenté le système logit de Brass, à deux paramètres α et β, dans lequel

$$l(x)=\frac{1}{1+\exp (2(\alpha +\beta Y^s(x)))}.$$

La méthode des modèles logit de Brass estime les paramètres α et β dans un système relationnel associé à un standard judicieusement choisi, qui reproduit exactement les valeurs observées des indices de mortalité des enfants (₅q₀) et des adultes (par exemple ₄₅q₁₅ or ₃₅q₁₅). Ces deux observations sont censées se rapporter à la même date.

Étape 2.1 : Estimation de α et β

Du fait qu’il s’agit d’un modèle à deux paramètres, on peut exprimer chaque paramètre en fonction de l’autre et de l’un des deux indices de mortalité observés. Pour simplifier le processus d’ajustement du modèle, il est indiqué d’exprimer α en fonction de β et de ₅q₀. Dans le système de modèles logit relationnels :

$$Y(5)=0,5\ln \left(\frac{{}_5{}^{}q{}_0}{1-{}_5{}^{}q{}_0}\right),$$

$$Y(5)=\alpha +\beta Y^s(5)$$

et donc

$$\alpha =Y(5)-\beta Y^s(5).$$

Equation 1

Sachant que l’indice de mortalité adulte est la probabilité conditionnelle qu’une personne de 15 ans décède avant l’âge exact 15 + n, _nq₁₅, alors

$${}_n{q}_{15}=1-{}_n{p}_{15}=1-\frac{l_{15+n}}{l_{15}}=1-\frac{1+\exp (2(\alpha +\beta Y^s(15)))}{1+\exp (2(\alpha +\beta Y^s(15+n)))}.$$

En remplaçant α par l’équation 1, on obtient :

$${}_n{q}_{15}=1-\frac{1+\exp (2(Y(5)+\beta (Y^s(15)-Y^s(5))))}{1+\exp (2(Y(5)+\beta (Y^s(15+n)-Y^s(5))))}.$$

Y(5) étant connu, on peut, avec une table standard, résoudre cette équation, par tâtonnements ou en utilisant la fonction Solve d’Excel, pour obtenir la valeur de β qui reproduit la valeur observée de _nq₁₅. Idéalement, cette valeur de β devrait rester raisonnablement proche de sa valeur centrale, 1. Si β est très différent de 1 (par exemple, s’il est inférieur à 0,8 ou supérieur à 1,25), il est recommandé de refaire les calculs avec une autre table standard dont la structure par âge de la mortalité est plus proche de celle de la population étudiée.

Étape 2.2 : Calcul d’une table de mortalité complète

La valeur de β obtenue détermine celle de α (en l’introduisant dans l’équation 1). En utilisant ces deux paramètres et la table standard choisie, on peut développer une table de mortalité complète dont la racine est 1, au moyen de la relation logit habituelle :

$$l(x)=\frac{1}{1+\exp (2(\alpha +\beta Y^s(x)))}.$$

Une fois les l(x) calculés, les autres fonctions de la table (entre autres _nm_x, _nL_x et e_x) peuvent être calculées avec les coefficients _na_x appropriés.

Méthode 3 : le système logit modifié

Le système logit modifié, décrit par Murray, Ferguson, Lopez et al. (2003), est une extension relativement simple du système logit de Brass. Ces auteurs ont proposé un moyen de calculer une table de mortalité en utilisant une table standard unique et des paramètres supplémentaires dépendant de l’âge, γ(x) et θ(x), formant un système logit modifié :

$$Y(x)=\alpha +\beta Y^s(x)+\gamma (x)\left(1-\frac{Y(5)}{Y^s(5)}\right)+\theta (x)\left(1-\frac{Y(60)}{Y^s(60)}\right).$$

Equation 2

Comme précédemment, Y(x) représente la transformation logit de l(x). Les deux premiers paramètres sont ceux du système relationnel logit de Brass. La première des deux séries de coefficients additionnels, γ(x), est paramétrée par la survie des enfants de moins de 5 ans rapportée à sa valeur dans la table standard, tandis que la deuxième série, les θ(x), est paramétrée par la survie des adultes jusqu’à 60 ans rapportée à sa valeur dans la table standard. Les valeurs de γ(x) et θ(x), ainsi que les tables standards pour chaque sexe, sont présentées au tableau 1.

Les utilisateurs de ce système doivent être avertis que les valeurs de γ(x) et θ(x) publiées dans l’article de 2003 sont affectées d’un signe erroné. Les paramètres du tableau 3 de cet article doivent donc être multipliés par –1 avant toute utilisation. Cette correction a été faite dans le tableau 1.

Bien qu’à première vue on ait affaire à quatre paramètres, cette version modifiée du système relationnel logit reste en fait un modèle à deux paramètres. Puisqu’on donne par définition la valeur zéro à γ(5), θ(5), γ(60) et θ(60), α et β suffisent à déterminer l(5) et l(60) dans le modèle ajusté, et donc aussi les deux séries d’écarts par âge par rapport au schéma standard de mortalité, γ(x) et θ(x). Le modèle peut donc être ajusté, par une procédure itérative, à n’importe quel couple d’estimations de la mortalité des enfants et de la mortalité adulte. En particulier, la valeur de Y(60) qui définit Y(x) pour x ≠ 5,60 est celle de la table ajustée finale. Il n’est donc pas nécessaire de connaître l(60) avant d’ajuster le modèle, et un système logit modifié peut être calculé à partir de n’importe quel indice pertinent de mortalité adulte.

Tableau 1 Coefficients γ(x) et θ(x) et table standard du système logit modifié

Âge (x)	Sexe masculin				Sexe féminin
	γ(x)	θ(x)	ls(x)		γ(x)	θ(x)	ls(x)
0	0,0000	0,0000	100 000		0,0000	-0,0000	100 000
1	-0,1607	0,0097	96 870		-0,0855	-0,0734	97 455
5	0	0	96 010		0	0	96 651
10	0,0325	-0,0025	95 666		0,0026	0,0229	96 370
15	0,0297	-0,0047	95 385		-0,0291	0,0485	96 153
20	-0,0427	-0,0018	94 782		-0,1199	0,1090	95 795
25	-0,1262	0,0210	93 915		-0,1931	0,1702	95 340
30	-0,1877	0,0518	93 007		-0,2352	0,2117	94 824
35	-0,2430	0,0883	91 949		-0,2686	0,2408	94 197
40	-0,2899	0,1248	90 575		-0,3003	0,2601	93 370
45	-0,3148	0,1482	88 645		-0,3203	0,2594	92 220
50	-0,2888	0,1402	85 834		-0,2935	0,2183	90 569
55	-0,1915	0,0910	81 713		-0,1967	0,1338	88 159
60	0	0	75 792		0	0	84 679
65	0,2304	-0,1170	67 493		0,2794	-0,1859	79 481
70	0,5523	-0,2579	56 546		0,7066	-0,4377	71 763
75	0,9669	-0,4150	42 989		1,2835	-0,7534	60 358
80	1,5013	-0,5936	28 117		2,0296	-1,1360	44 958
85	2,2126	-0,8051	14 364		2,9576	-1,5774	27 123
Source: Murray, Ferguson, Lopez et al. (2003), tableau 3 avec inversion des signes des coefficients γ et θ (voir               l’explication dans le texte).

Étape 3.1 : Estimation de α et β

Le paramètre α produit par cette méthode peut être exprimé en fonction de β et de l’indice observé de mortalité des enfants, ₅q₀ :

$$\alpha =Y(5)-\beta Y^s(5),$$

où Y(5) est le logit du ₅q₀ observé et Y^s(5) est le logit du l(5) de la table standard présentée au tableau 1. En outre, dans la table ajustée :

$$Y(60)=\alpha +\beta Y^s(60)=Y(5)+\beta (Y^s(60)-Y^s(5)).$$

Le modèle peut alors être récrit en fonction de β, de Y(5) et des valeurs empruntées à la table standard :

$$Y(x)=Y(5)+\beta \left(Y^s(x)-Y^s(5)\right)+\gamma (x)\left(1-\frac{Y(5)}{Y^s(5)}\right)+\theta (x)\left(1-\frac{Y(5)+\beta \left(Y^s(60)-Y^s(5)\right)}{Y^s(60)}\right).$$

Au moyen de cette équation, on peut estimer β par itérations, en vue d’obtenir la valeur de ce paramètre qui engendre une table de mortalité dont l’indice de mortalité adulte (par exemple ₄₅q₁₅ ou ₃₅q₁₅) est égal à celui qui a été observé.

Étape 3.2 : Calcul d’une table de mortalité complète

On peut utiliser les valeurs calculées de β et de Y(5) pour déduire α de l’équation 1. Comme γ(60) = θ(60) = 0, on peut ensuite calculer le logit de la probabilité de survie à 60 ans :

$$Y(60)=\alpha +\beta Y^s(60).$$

Avec ces quatre éléments (α, β, Y(5) et Y(60)), il est possible de calculer toute la série des valeurs de Y(x) au moyen de l’équation 2 et des coefficients du tableau 1.

Une fois obtenus les Y(x), la table de mortalité associée se calcule par la relation logit habituelle :

$$l(x)=\frac{1}{1+\exp \left(2Y(x)\right)}.$$

Après les l(x), on peut calculer les autres fonctions de la table (par exemple _nm_x, _nL_x et e_x) avec les coefficients _na_x appropriés.

Méthode 4 : le système log-quadratique

Une autre manière de construire des tables de mortalité à partir de données partielles a été publiée récemment par Wilmoth, Zureick, Canudas-Romo et al. (2012). Il s’agit de modéliser les taux de mortalité par âge (_nm_x) d’une population en fonction de constantes scalaires dépendant de l’âge, a(x), b(x), c(x) et v(x), et des paramètres h et k selon la relation suivante :

$$\ln \left({}_{n}m{}_x\right)=a(x)+b(x)h+c(x)h^2+v(x)k.$$

Les valeurs des quatre constantes ontété calculées à partir des données de la Human Mortality Database, et les deux paramètres restants (h et k) servent à l’ajustement du modèle. Les valeurs de a(x), b(x), c(x) et v(x),pour chaque sexe, sont présentées dans le tableau 2.

Tableau 2 Coefficients a(x), b(x), c(x) et v(x) du système log-quadratique de tables de mortalité

x	n	Sexe masculin					Sexe féminin
		a(x)	b(x)	c(x)	v(x)		a(x)	b(x)	c(x)	v(x)
0	1	-0,5101	0,8164	-0,0245	0		-0,6619	0,7684	-0,0277	0
1	4
5	5	-3,0435	1,5270	0,0817	0,1720		-2,5608	1,7937	0,1082	0,2788
10	5	-3,9554	1,2390	0,0638	0,1683		-3,2435	1,6653	0,1088	0,3423
15	5	-3,9374	1,0425	0,0750	0,2161		-3,1099	1,5797	0,1147	0,4007
20	5	-3,4165	1,1651	0,0945	0,3022		-2,9789	1,5053	0,1011	0,4133
25	5	-3,4237	1,1444	0,0905	0,3624		-3,0185	1,3729	0,0815	0,3884
30	5	-3,4438	1,0682	0,0814	0,3848		-3,0201	1,2879	0,0778	0,3391
35	5	-3,4198	0,9620	0,0714	0,3779		-3,1487	1,1071	0,0637	0,2829
40	5	-3,3829	0,8337	0,0609	0,3530		-3,2690	0,9339	0,0533	0,2246
45	5	-3,4456	0,6039	0,0362	0,3060		-3,5202	0,6642	0,0289	0,1774
50	5	-3,4217	0,4001	0,0138	0,2564		-3,4076	0,5556	0,0208	0,1429
55	5	-3,4144	0,1760	-0,0128	0,2017		-3,2587	0,4461	0,0101	0,1190
60	5	-3,1402	0,0921	-0,0216	0,1616		-2,8907	0,3988	0,0042	0,0807
65	5	-2,8565	0,0217	-0,0283	0,1216		-2,6608	0,2591	-0,0135	0,0571
70	5	-2,4114	0,0388	-0,0235	0,0864		-2,2949	0,1759	-0,0229	0,0295
75	5	-2,0411	0,0093	-0,0252	0,0537		-2,0414	0,0481	-0,0354	0,0114
80	5	-1,6456	0,0085	-0,0221	0,0316		-1,7308	-0,0064	-0,0347	0,0033
85	5	-1,3203	-0,0183	-0,0219	0,0061		-1,4473	-0,0531	-0,0327	0,0040
90	5	-1,0368	-0,0314	-0,0184	0		-1,1582	-0,0617	-0,0259	0
95	5	-0,7310	-0,0170	-0,0133	0		-0,8655	-0,0598	-0,0198	0
100	5	-0,5024	-0,0081	-0,0086	0		-0,6294	-0,0513	-0,0134	0
105	5	-0,3275	-0,0001	-0,0048	0		-0,4282	-0,0341	-0,0075	0
110		-0,2212	-0,0028	-0,0027	0		-0,2966	-0,0229	-0,0041	0
Source : Wilmoth, Zureick,Canudas-Romo et al. (2012, tableau 3).

Le paramètre h est défini comme le logarithme du quotient observé ₅q₀. Le second, k (combiné avec v(x)), représente l’écart entre la structure par âge de la mortalité observée et celle d’une population standard. En pratique, il est choisi pour reproduire l’indice observé de mortalité adulte conditionné par le ₅q₀ observé.

Étape 4.1 : Estimation de h et k

Dans cette méthode, l’estimation de h découle de celle de l’indice observé de mortalité des enfants, ₅q₀ :

$$h=\ln {(}_5{q}_0).$$

La valeur de k se calcule par itérations, en la faisant varier de manière à augmenter ou diminuer les taux de mortalité par âge jusqu’à ce que l’indice conditionnel de survie de la table ajustée (par exemple ₄₅q₁₅ ou ₃₅q₁₅) coïncide avec sa valeur observée.

Étape 4.2 : Calcul d’une table de mortalité complète

Une fois que h et k ont été évalués, on calcule directement une série complète de ₅m_x avec les coefficients du tableau 2. Notons que, pour s’assurer que la valeur estimée de ₅q₀ coïncide avec sa valeur observée, la mortalité entre 1 et 4 ans se calcule comme la différence entre l’estimation initiale de ₅q₀ et le quotient estimé de mortalité infantile, ₁q₀ :

$${}_{4}q{}_1=1-\frac{1-{}_{5}q{}_0}{1-{}_{1}q{}_0}.$$

Comme les résultats de l’application des modèles log-quadratiques sont les taux de mortalité entre les âges x et x + 5, _nm_x, on a besoin des multiplicateurs _na_x, qui mesurent le nombre moyen d’années vécues dans un groupe d’âge donné par les individus qui meurent dans ce groupe d’âge, pour convertir les taux de mortalité en quotients de mortalité et calculer des indices tels que ₄₅q₁₅ ou ₃₅q₁₅. Une simplification qui donne généralement des résultats raisonnables entre 5 et 59 ans consiste à supposer que les personnes décédées entre les âges x et x + 5 sont mortes en moyenne à l’âge exact x + 2,7. (C’est cette hypothèse que l’on a faite dans les feuilles Excel associées à ce chapitre, et on a utilisé des multiplicateurs progressivement plus faibles pour les grands âges.)

Il est plus délicat de déterminer le multiplicateur à employer pour évaluer ₁q₀ à partir de ₁m₀, car l’hypothèse adoptée peut avoir un effet important sur le résultat obtenu. En l’absence de renseignements empiriques sur la valeur de ₁a₀ qui convient pour la population étudiée, on peut estimer une valeur plausible en recourant aux équations proposées par Preston, Heuveline et Guillot (2001, p. 48), qui se basent sur la famille Ouest de tables-types de mortalité de Princeton. (C’est ainsi qu’a été calculé ₁a₀ dans les feuilles Excel associées à ce chapitre.)

Exemple

Comme nous l’avons dit dans l’introduction, il serait laborieux de présenter des exemples détaillés de mise en œuvre de ces méthodes, étant donné que des procédures itératives sont nécessaires pour calculer les tables ajustées. Les feuilles Excel associées et disponibles en ligne fournissent un exemple d’application de chaque méthode aux estimations de mortalité du Kenya au milieu des années 1980. (Notons que ces estimations sont antérieures aux premières conséquences démographiques significatives de l’épidémie de sida au Kenya, et que l’on peut donc calculer des tables de mortalité pour cette population en utilisant des modèles qui ne tiennent pas compte de l’impact qu’une grave épidémie de VIH a sur la structure par âge de la mortalité.)

Les couples d’indices de mortalité des enfants et de mortalité adulte auxquels les quatre modèles ont été ajustés sont présentés dans le tableau 3.

Tableau 3 Estimations de la mortalité infanto-juvénile et de la mortalité adulte, par sexe, au Kenya au milieu des années 1980

	Sexe masculin	Sexe féminin
5q0	0,1180	0,1080
45q15	0,2352	0,1581

La figure 1 présente les _nm_x (sur une échelle logarithmique) des tables de mortalité ajustées, basées, dans le cas des deux premières méthodes, sur les tables-types de la famille Ouest de Princeton. D’autres paramètres qui mettent en lumière les différences entre les modèles sont présentés dans le tableau 4.

Figure 1 Valeurs estimées des nmx (en échelle logarithmique) dans le cas de quatre tables de mortalité calculées sur la base des estimations du tableau 3 (famille Ouest de tables-types de Princeton)

On voit sur la figure 1 que les taux de mortalité masculins donnés par la « méthode de la greffe » et par la méthode log-quadratique sont presque identiques. Ceux de la méthode logit modifiée sont également très similaires à ceux-ci aux âges adultes (pour les hommes), mais ils sont beaucoup plus faibles entre 5 et 24 ans. Par ailleurs, le modèle logit de Brass concorde avec la méthode de la greffe et la méthode log-quadratique aux âges jeunes, mais donne des taux nettement inférieurs au-dessus de 60 ans, à cause de la faible valeur de β. Les caractéristiques des quatre courbes féminines sont identiques à celles des hommes, sauf pour la méthode log-quadratique qui donne une mortalité plus faible que les autres méthodes entre 10 et 34 ans.

Tableau 4 Indices de mortalité selon quatre tables de mortalité calculées sur la base des estimations du tableau 3 (famille Ouest de tables-types de Princeton)

Indice	Sexe masculin					Sexe féminin
	Greffe	Brass logit	Logit modifiée	Log- quadratique		Greffe	Brass logit	Logit modifiée	Log- quadratique
e0	59,7	60,9	60,3	59,3		64,3	66,6	64,4	63,9
1q0	0,0891	0,0944	0,0923	0,0880		0,0815	0,0842	0,0823	0,0768
l(15)	0,8640	0,8679	0,8693	0,8662		0,8737	0,8796	0,8812	0,8836
20q60	0,6706	0,5793	0,6771	0,7054		0,5346	0,4050	0,5840	0,6416

Le tableau 4 illustre les effets de ces différences de taux de mortalité par âge. Les modèles logit de Brass donnent une mortalité aux grands âges nettement plus faible que les autres modèles, et des espérances de vie à la naissance sensiblement plus élevées. D’autre part, les deux modèles log-quadratiques présentent la plus forte mortalité aux grands âges et les plus faibles espérances de vie. Tous les modèles donnent des estimations assez semblables de la survie dans l’enfance (c’est-à-dire jusqu’à 15 ans), mais des valeurs diverses de la mortalité infantile. Les résultats des modèles de Brass sont les plus élevés, ils reflètent les mêmes valeurs faibles de β qui ont donné une mortalité basse aux grands âges. Ces différences entre les modèles impliquent que l’on ne peut pas espérer évaluer correctement les taux de mortalité infantile ou de mortalité aux grands âges sinon par les seules méthodes directes.

Il faut garder à l’esprit que, si les deux premiers modèles s’appuyaient sur un standard différent, cela altérerait les caractéristiques des tables ajustées par le système logit modifié et log-quadratique. Par exemple, adopter comme standard le modèle Sud de Princeton ou le modèle asiatique des Nations Unies donnerait des tables ajustées par la « méthode de la greffe » ou celle de Brass plus proches de celles obtenues par les deux autres méthodes.

Bien qu’il n’y ait guère d’argument décisif qui incite à choisir une méthode plutôt qu’une autre, les approches logit modifiée et log-quadratique sont, en théorie, meilleures que les approches plus anciennes pour ajuster une table-type de mortalité. En outre, comme nous l’avons souligné plus haut dans la section Mise en garde, certaines constatations empiriques suggèrent qu’elles sont en moyenne plus performantes que la « méthode de la greffe » et celle de Brass. Enfin, dans des contextes où le choix d’une table standard paraît difficile, on peut contourner ce problème en adoptant l’une de ces deux approches. Donc, en règle générale, on préférera le système logit modifié et le système log-quadratique aux méthodes plus anciennes, sauf s’il existe des raisons concrètes de choisir une méthode basée sur un standard appartenant à une famille particulière des tables-types de Princeton ou des Nations Unies.

Références

Murray CJ, BD Ferguson, AD Lopez, M Guillot, J Salomon and O Ahmad. 2003. “Modified logit life table system: principles, empirical validation, and application”, Population Studies 57(2):165–182. doi: http://dx.doi.org/10.1080/0032472032000097083

Preston SH, P Heuveline and M Guillot. 2001. Demography: Measuring and Modelling Population Processes. Oxford: Blackwell.

Wilmoth JR, S Zureick, V Canudas-Romo, M Inoue and C Sawyer. 2012. “A flexible two-dimensional mortality model for use in indirect estimation”, Population Studies 66(1):1–28. doi: http://dx.doi.org/10.1080/00324728.2011.611411

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