Combiner des estimations indirectes de la mortalité des enfants et de la mortalité adulte pour produire une table de mortalité

Description de la méthode

Les méthodes indirectes d’évaluation de la mortalité des enfants et des adultes décrites dans ce manuel fournissent des séries d’estimations qui – en utilisant les approches de la datation dues à Feeney (1980, 1991) pour les enfants, et à Brass et Bamgboye (1981) et Brass (1985) pour les adultes – se rapportent à des dates diverses. Cependant, dans beaucoup d’applications démographiques, il est utile de calculer une table de mortalité abrégée qui reflète la mortalité de l’ensemble des groupes d’âge à une date précise pour la période couverte par ces séries d’estimations. C’est le cas pour la préparation de projections de population ou pour l’évaluation des variations de l’espérance de vie à la naissance ou de la mortalité à travers le temps.

Le type et la période de référence des estimations fournies par les méthodes indirectes les plus importantes sont sommairement présentés dans le tableau 1.

Tableau 1 Périodes de référence des indices de mortalité estimés par quelques méthodes indirectes d’évaluation de la mortalité des enfants et de la mortalité adulte

Méthode	Indices et tranche d’âge habituellement couverte	Période de référence habituelle
Mortalité des enfants : estimation indirecte	l(1) … l(20)	de 1 à 15 ans avant l’enquête
Mortalité adulte : survie de la mère	10p25 … 40p25	de 3 à 15 ans avant l’enquête
Mortalité adulte : survie du père	15p35 … 35p35	de 5 à 15 ans avant l’enquête
Mortalité adulte : survie des frères et sœurs	10p15 …  35p15	de 3 à 15 ans avant l’enquête

Une caractéristique importante des estimations de mortalité adulte obtenues par ces méthodes est qu’il s’agit toujours d’indices conditionnels de survie, qui mesurent la probabilité de survivre d’un âge (par exemple 25 ans dans le cas de la méthode de la survie de la mère) à un autre (par exemple 35 ans). On ne peut pas convertir directement ces indices conditionnels de survie à l’âge adulte en indices non conditionnels. Dès lors, les méthodes d’ajustement d’un modèle relationnel logit exposées en introduction de bien des manuels consacrés à la modélisation ne sont donc pas applicables, et on doit recourir à des techniques d’ajustement plus complexes.

Pour combiner des estimations de mortalité des enfants et de mortalité adulte en une table de mortalité unique qui se rapporte à une date déterminée, on a besoin d’une méthode qui règle les problèmes suivants :

• Les estimations de mortalité adulte, sous forme de probabilités conditionnelles de survie, doivent être converties en probabilités de survie depuis la naissance ;
• Les estimations de mortalité des enfants et de mortalité adulte peuvent impliquer différents niveaux ou schémas par âge de la mortalité, ou des tendances différentes dans le temps, ou les deux à la fois ;
• Certaines données peuvent être défectueuses ou entachées de fluctuations aléatoires qui faussent la tendance générale, ce qui implique que la courbe doit être lissée ou corrigée ;
• Les estimations de mortalité des enfants et de mortalité adulte se rapportent généralement à des dates différentes et peuvent couvrir des périodes de référence différentes ;
• Ni les méthodes d’estimation de la mortalité des enfants ni les méthodes d’estimation de la mortalité adulte ne renseignent sur la mortalité de tous les âges, ce qui implique que l’on ne peut construire une table de mortalité complète qu’en recourant à des modèles.

La méthode présentée ici vise à déterminer les paramètres α et β d’un système relationnel logit associé à une table type (décrite dans l’introduction aux tables-types de mortalité) applicable à une date précise et qui s’ajuste le mieux possible aux données observées utilisées comme inputs. Le calcul d’un modèle à deux paramètres n’est possible que si on dispose, à la date en question, d’estimations indépendantes de la mortalité des enfants et de la mortalité adulte. Si ces données sont disponibles, il est recommandé de calculer un modèle à deux paramètres car rien, a priori, ne justifie généralement l’hypothèse que la structure par âge de la mortalité dans la population étudiée correspond à celle d’une famille particulière de tables-types de mortalité à un paramètre.

En partant des valeurs observées des indices de mortalité des enfants et de mortalité adulte, la méthode permet d’abord de calculer et disposer sur un graphique les valeurs de α (le paramètre de niveau d’un système relationnel logit de mortalité) en fonction de la date de chacun de ces indices, en posant l’hypothèse que β (le paramètre de structure) est égal à 1. Ce graphique des valeurs de α (« alpha plot ») sert à identifier les points qui dessinent une tendance cohérente et stable des valeurs de α à travers le temps. Les points retenus sont ensuite utilisés pour calculer par itération les estimations définitives de α et β à la date à laquelle on souhaite rattacher la table de mortalité. On peut alors employer ces valeurs α et β pour calculer une table de mortalité ajustée à partir de la table qui sert de standard. La méthode autorise les deux paramètres α et β à varier en fonction du temps, mais leur impose de varier linéairement (Timæus, 1990).

On peut utiliser cette méthode pour calculer des tables de mortalité abrégées à partir d’indices de mortalité des enfants par sexe obtenus par la méthode indirecte, en analysant des données sur les enfants nés vivants et les enfants survivants, et d’indices de mortalité adulte par sexe obtenus en appliquant soit la méthode des proportions d’orphelins à un seul recensement, soit la méthode indirecte basée sur la survie des frères et sœurs. Normalement, les estimations de mortalité des enfants et de mortalité adulte obtenues par une méthode directe ou par l’analyse de deux recensements se rapportent à une année ou une période précise. On peut ajuster des tables-types de mortalité à des couples d’estimations de la mortalité des enfants et de la mortalité adulte qui se rapportent à la même date ou période, en appliquant les méthodes décrites dans la section sur l’ajustement d’une table-type de mortalité à un couple d’estimations de la mortalité des enfants et de la mortalité adulte.

Données requises et hypothèses

Tabulations nécessaires

• Une série d’estimations indirectes de mortalité des enfants par sexe, avec leurs dates, provenant de l’analyse de données sur les enfants nés vivants et survivants ;
• Une série d’estimations de mortalité adulte par sexe, avec leurs dates, calculées soit par une méthode indirecte basée sur la survie des frères et sœurs, soit par la méthode des proportions d’orphelins déclarés à un seul recensement.

En principe, l’approche adoptée pour traiter ce type de données pourrait être étendue au calcul de tables de mortalité pour des populations disposant de séries multiples et partiellement chevauchantes d’estimations indirectes de mortalité des enfants et de mortalité adulte. Mais le tableur en ligne associé à ce thème ne peut traiter qu’une seule série de données pour la mortalité des enfants et une seule pour les adultes.

Hypothèses

Dans la méthode que nous présentons ici, la table de mortalité ajustée est est basée sur une table-type de mortalité qui sert de standard. Cette table standard est supposée avoir une structure par âge de la mortalité similaire à celle de la population étudiée. En particulier, le rapport entre mortalité des enfants et mortalité adulte dans la table standard devrait être le même que celui qui existe entre les estimations indirectes auxquelles le modèle doit être ajusté. Des conseils pour le choix d’une table standard adéquate sont donnés dans le chapitre Introduction aux tables-types de mortalité, qui explique aussi les mécanismes de base du système relationnel logit associé à des tables-types de mortalité. Il n’est pas obligatoire de choisir la table standard dans la famille de tables-types qui est à la base des coefficients utilisés pour calculer les estimations indirectes de mortalité des enfants : la famille de tables-types qui s’adapte le mieux à la structure par âge de la mortalité dans l’enfance peut ne pas être la plus indiquée pour représenter le rapport entre mortalité des enfants et mortalité des adultes dans la même population.

Mise en garde

La plausibilité des tables ajustées construites par cette méthode dépend de la pertinence de la table standard choisie pour la population étudiée. Par exemple, dans une population touchée par une épidémie de VIH/sida, le rapport entre mortalité des enfants et mortalité adulte, et la structure par âge détaillée de la mortalité, s’écartent fortement de ceux qui caractérisent les tables-types les plus couramment utilisées. Par conséquent, il est déconseillé d’utiliser régulièrement cette méthode en pareil cas, ainsi que quand on n’a pu identifier aucune table standard reproduisant correctement le rapport entre mortalité des enfants et mortalité adulte.

Application de la méthode

La mise en œuvre de la méthode suit plusieurs étapes.

Étape 1 : Déterminer la date à laquelle doit se rapporter la table de mortalité souhaitée 

Pour éviter les risques associés aux extrapolations abusives lors de la détermination de α et β, la table de mortalité devrait se rapporter à une date située à l’intérieur de la période couverte par les estimations de mortalité des enfants et de mortalité adulte qui entrent dans l’analyse. Nous appellerons cette date D.

La date exacte à laquelle doit être située la table peut être déterminée par l’usage auquel elle est destinée. Mais, idéalement, il faudrait choisir une date à laquelle la mortalité des enfants et celle des adultes semblent correctement estimées. Par exemple, si les estimations de la mortalité des enfants remontant le plus loin dans le passé paraissent biaisées à la baisse par la sous-déclaration des décès d’enfants, ou si les estimations de la mortalité adulte du passé le plus récent basées sur la survie des parents semblent biaisées à la baisse par l’effet d’adoption, on devrait s’abstenir de calculer une table de mortalité se rapportant aux dates couvertes par ces estimations défectueuses. Malheureusement, ces considérations conduisent parfois à conclure que les données disponibles ne sont pas assez fiables pour servir de base à la construction d’une table de mortalité !

Si on a besoin d’une table de mortalité pour une date postérieure, ou éventuellement antérieure, à la période couverte par les indices disponibles, on peut envisager une légère extrapolation en dehors des limites de cette période. Cette extrapolation ne devrait pas dépasser trois années avant la plus ancienne estimation de l’un ou l’autre des deux indices de mortalité, ou trois années après le plus ancien des deux indices les plus récents.

Étape 2 : Choisir une table standard pour servir de base au calcul de la table de mortalité ajustée 

Le tableur associé à ce chapitre permet de choisir entre neuf tables standards par sexe : les cinq tables-types des Nations Unies (modèle général, Asie du Sud, Extrême-Orient, Amérique Latine, Chili) et les quatre tables-types régionales de Princeton (Nord, Sud, Est, Ouest). Toutes les tables standards ont une espérance de vie à la naissance de 60 ans. Le calcul de ces logits est décrit dans le chapitre Introduction aux tables-types de mortalité, et un tableur contenant leurs valeurs numériques peut être téléchargé sur le site web Tools for Demographic Estimation.

Lors de la recherche d’une table standard, le premier objectif devrait être d’en choisir une dans laquelle le rapport entre mortalité des enfants et mortalité adulte est à peu près le même que celui qui existe entre leurs valeurs observées. Pratiquement, si le paramètre β de la table finale calculée est inférieur à 0,75 ou supérieur à 1,25, on devrait au moins envisager le choix d’une autre table standard. Dans des situations plus problématiques, les tables-types dans lesquelles β est inférieur à 0,6 ou supérieur à 1,4 n’ont guère de chances de représenter correctement la mortalité observée. Un autre objectif de la recherche d’une table standard devrait être d’en choisir une qui possède d’autres caractéristiques de la population étudiée, telles que le rapport entre mortalité infantile et mortalité juvénile. Les caractéristiques des diverses familles de tables-types de Princeton et des Nations Unies sont brièvement décrites dans le chapitre intitulé Introduction aux tables-types de mortalité.

Étape 3 : Porter sur un graphique les valeurs de α (β étant supposé égal à 1) calculées à partir des indices de mortalité observés, en fonction de leurs dates de référence 

Quand β (le paramètre qui caractérise la structure dans un système relationnel de tables-types de mortalité) est égal à 1, le système peut s’écrire :

$$Y(x)=\alpha +Y^s(x)$$

où Y(x) est la transformation logit de l(x) :

$$Y(x)=logit(l(x))=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1-l(x)}{l(x)}\right)=-\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1-q(x)}{q(x)}\right).$$

Pour la mortalité des enfants, le calcul de la série des valeurs de α à partir des indices estimés est très simple. On soustrait les logits de la table standard choisie pour les âges 1, 2, 3, 5, 10, 15 et 20 ans de ceux des quotients estimés (q(1), q(2), q(3), q(5), q(10), q(15) et q(20)) :

$${\alpha }^{child}=Y(x)-Y^s(x).$$

Pour la mortalité adulte, le calcul de α est plus compliqué, car les probabilités de survie fournies par les méthodes d’estimation sont des probabilités conditionnelles, la condition étant d’être en vie à un âge initial fixé. La formule de calcul de α est la suivante :

$${\alpha }^{adults}=\frac{1}{2}\{\ln (1{-}_n{p}_x)-\ln {[}_n{p}_x.\exp (2Y^s(x+n))-\exp (2Y^s(x))]\},$$

où x est l’âge initial de la probabilité conditionnelle de survie (25 ans pour la méthode de la survie des mères) et n est l’intervalle de temps sur lequel est mesurée la probabilité de survie, qui dépend du groupe d’âge auquel appartient la personne interrogée. (On trouvera le calcul de cette expression au bas de cette page.)

Les estimations de α (séparément pour les enfants et pour les adultes) sont ensuite portées sur un même graphique en fonction de leurs dates respectives.

Étape 4 : Éliminer du graphique des valeurs de α les points qui s’écartent trop de la tendance générale 

Pour estimer les valeurs des paramètres α et β à une date déterminée, la méthode exige qu’ils suivent une tendance linéaire. Pour satisfaire cette condition, il faut d’abord que chacune des deux séries de points représentant les valeurs de α (l’une pour les enfants et l’autre pour les adultes) en fonction du temps, calculées à l’étape 3, soit alignée.

Certains points α de l’une ou l’autre série, calculés au moyen des deux formules ci-dessus, peuvent s’écarter de l’alignement avec les autres pour diverses raisons. Premièrement, les tendances sous-jacentes de la mortalité peuvent se révéler nettement non linéaire. Mais c’est assez peu probable, car les données observées couvrent des périodes relativement courtes et les méthodes d’estimation indirectes ont tendance à gommer les fluctuations à court terme de la mortalité. Cependant, même si le graphique de diagnostic dont les points ont été calculés plus haut montre que l’on est dans ce cas, il reste possible d’obtenir une table de mortalité ajustée correcte en la calculant à une date à laquelle les tendances linéaires imposées aux paramètres par la méthode coupent la courbe dessinée par les points du graphique. Deuxièmement, les séries peuvent être assez irrégulières à cause des erreurs d’échantillonnage et de déclaration, telles que les erreurs sur l’âge. Si c’est le seul défaut des données, on les inclura normalement toutes dans l’analyse, et on fera confiance à la procédure d’ajustement linéaire pour niveler ces fluctuations.

Troisièmement, les estimations indirectes sont sujettes aux biais résultant des mauvaises réponses données par les personnes interrogées aux questions clés, ou au non-respect des hypothèses associées aux méthodes concernées. Les erreurs possibles sont détaillées dans les pages consacrées aux diverses méthodes, et nous y renvoyons le lecteur qui voudrait des conseils pour identifier les signes pouvant faire penser que certains points sont biaisés et doivent être écartés de la procédure d’ajustement. Il est relativement fréquent que le point qui correspond au groupe d’âge 15-19 ans dans la méthode d’estimation de la mortalité des enfants soit biaisé vers le haut, et que le point qui correspond au groupe d’âge 5-14 ans dans la méthode de la survie des parents avec un seul recensement soit biaisé vers le bas. Il sera donc souvent nécessaire d’exclure ces points de la procédure d’ajustement.

Une quatrième explication possible du non-alignement des valeurs calculées de α est que la table standard choisie pour le calcul des estimations originales peut ne pas être la plus appropriée. Si c’est le cas, il peut être nécessaire de recalculer les indices ou la table ajustée sur la base d’un autre standard (comme expliqué à l’étape 2).

Une fois choisies les valeurs de α et β, pour les enfants et pour les adultes, à retenir pour la procédure d’ajustement, la suite des calculs se déroule automatiquement.

Étape 5 : Déterminer la tendance de β par itération 

Les valeurs de β n’étant pas faciles à calculer manuellement par itération, le manuel d’exercices a été programmé pour faire ces calculs. Pour activer la procédure d’itération, assurez-vous que Microsoft Excel est configuré comme il faut. Pour ce faire, cliquez sur «  File → Options → Formulas » puis contrôlez la fenêtre « Enable iterative calculation ». Fixer le nombre maximum d’itérations à 1000 et le maximum de variation à 0,00001 est plus que suffisant pour parvenir à une solution.

La procédure itérative qui ajuste α et β est décrite dans la section consacrée à la présentation mathématique de la méthode. Les principales contraintes imposées à cette procédure sont les suivantes :

• Quelles que soient les valeurs originales de x et n qui entrent dans l’estimation de q(x) et de _np_b pour les enfants et pour les adultes à la date choisie, β se calcule toujours sur la base de la probabilité de survie de 15 à 60 ans de la table standard.
• α et β peuvent tous les deux varier au cours du temps, mais on suppose qu’ils varient linéairement.

L’ensemble de ces deux hypothèses réduit l’effet de distorsion que les erreurs sur les indices observés et les écarts mineurs entre les structures par âge de la mortalité de la population et de la table standard peuvent avoir sur la table de mortalité ajustée (Timæus, 1990). Par contre, si on utilise la méthode, décrite par ailleurs, d’ajustement d’une table-type logit à deux paramètres à un couple d’estimations indirectes récentes de la mortalité des enfants et de la mortalité adulte qui se rapportent à peu près à la même date, mais ne mesurent la mortalité que sur une partie de l’éventail des âges (Brass 1975, 1985), par exemple q(2) et ₁₀p₂₅, on obtient souvent des valeurs extrêmes de β qui aboutissent à des tables ajustées peu vraisemblables.

Étape 6 : Examiner les valeurs ajustées de α 

L’avant-dernière étape consiste à examiner le graphique des valeurs de α qui découlent de la procédure itérative d’ajustement, c’est-à-dire le deuxième graphique de la feuille des « alpha plots » de la feuille Excel associée. C’est ce second graphique, présentant les estimations de α réajustées en fonction du niveau et de la tendance de β, qui permet de vérifier l’hypothèse que α a suivi une évolution linéaire. En outre, si la table standard à laquelle les données ont été adaptées est adéquate, les séries d’estimations de la mortalité des enfants et de la mortalité adulte devraient être proches l’une de l’autre sur ce graphique.

Étape 7 : Construction d’une table de mortalité ajustée 

Une fois identifiées, au moyen de la procédure itérative d’ajustement, les meilleures tendances linéaires d’évolution temporelle de α et β, les valeurs ajustées de ces deux paramètres à la date choisie pour la table de mortalité ajustée, D, se calculent comme suit :

$$\begin{array}{l}{\alpha }^{*}=Z(\alpha )+D.S(\alpha )\hfill \\ {\beta }^{*}=Z(\beta )+D.S(\beta ).\hfill \end{array}$$

On calcule la table de mortalité abrégée ajustée à partir de ces valeurs de α^* et β^* et de la table standard, au moyen de la formule :

$$l^{*}(x)=\frac{1}{1+\exp (2({\alpha }^{*}+{\beta }^{*}.Y^s(x)))}.$$

Exemple

L’exemple détaillé que nous présentons ici utilise des données sur la population féminine de la République Dominicaine. Les estimations indirectes de mortalité des filles découlent des données sur les enfants nés et les enfants survivants recueillies par une EDS réalisée en 2002. Les estimations indirectes de mortalité des femmes adultes se basent sur les déclarations de survie des mères enregistrées lors du recensement effectué pendant la même année. Les données de base sont présentées dans le tableau 2.

Tableau 2 Données de base utilisées pour combiner les estimations respectives de la mortalité des enfants et de la mortalité adulte. République Dominicaine, 2002

Mortalité des enfants (EDS 2002)				Mortalité adulte (recensement de 2002)
x	q(x)	Date		n	np25	Date
1	0,0338	2001,71		10	0,9858	1999,23
2	0,0429	2000,24		15	0,9801	1997,07
3	0,0355	1998,48		20	0,9680	1995,13
5	0,0467	1996,43		25	0,9479	1993,43
10	0,0619	1994,16		30	0,9214	1992,02
15	0,0710	1991,52		35	0,8872	1991,00
20	0,0799	1987,99		40	0,8373	1990,51

Étape 1 : Déterminer la date à laquelle doit se rapporter la table de mortalité souhaitée 

Dans le cas des données de la République Dominicaine, le tableur en ligne permet de calculer une table de mortalité pour des dates situées entre la plus ancienne des deux dates 1987,99 – 3 et 1990,51 – 3 et la plus ancienne des deux dates 2001,71 + 3 et 1999,23 + 3, c’est-à-dire entre 1984,99 et 2002,23.

Dans cet exemple, nous calculerons une table de mortalité pour le milieu de 1997, soit 1997,5.

Étape 2 : Choisir une table standard pour servir de base au calcul de la table de mortalité ajustée 

Étant donné l’origine géographique des données, il est raisonnable de faire l’hypothèse (au moins pour commencer) que la mortalité des femmes dominicaines a une structure par âge du type de celle de la table standard féminine Amérique Latine des Nations Unies. Les logits de la table de mortalité choisie comme standard sont présentés dans le tableau 3.

Tableau 3 Logits de la table de mortalité féminine Amérique Latine des Nations Unies ayant une espérance de vie de 60 ans

Âge (x)	Ys(x)  = logit(l(x))
0
1	-1,2375
2	-1,1006
3	-1,0398
4	-1,0046
5	-0,9815
10	-0,9304
15	-0,9054
20	-0,8735
25	-0,8313
30	-0,7828
35	-0,7285
40	-0,6670
45	-0,6005
50	-0,5248
55	-0,4356
60	-0,3230
65	-0,1795

Notons que, si, dans la feuille Excel associée (disponible en ligne), on passe des tables des Nations Unies à celles de Princeton, ou vice versa, on doit forcer le tableur à refaire les calculs en faisant passer la case « Recalculate » (B3 sur la feuille Method) de « True » à « False » et inversement. Omettre cette manipulation provoquerait une erreur.

Étape 3 : Porter sur un graphique les valeurs de α (β étant supposé égal à 1) calculées à partir des indices de mortalité observés, en fonction de leurs dates de référence 

En prenant les données dominicaines du tableau 2 et une table de mortalité de la famille Amérique Latine des Nations Unies comme table standard, on calcule comme suit la valeur de α pour la mortalité des enfants quand x = 3 :

$$\begin{array}{l}{\alpha }^{child}=-\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1-q(3)}{q(3)}\right)-\text{logit}(l^s(3))\hfill \\ =-\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1-0,0355}{0,0355}\right)+1,0398\hfill \\ =-0,6112.\hfill \end{array}$$

Cette valeur de α se rapporte à la date 1998,48, comme l’indique le tableau 1. On calcule de la même manière les valeurs de α pour les autres indices de mortalité des enfants avec leurs dates respectives.

En prenant les données de mortalité adulte du tableau 2 et la même table standard, le calcul de α quand n vaut 25 est le suivant :

$$\begin{array}{l}{\alpha }^{adults}=\frac{1}{2}\{\ln (1-{}_{25}{}^{}p{}_{25})-\ln [{}_{25}{}^{}p{}_{25}.\exp (2Y^s(50))-\exp (2Y^s(25))]\}\hfill \\ =\frac{1}{2}\{\ln (1-0,9479)-\ln [0,9479\exp (2(-0,5248))-\exp (2(-0,8313))]\}\hfill \\ =-0,5021.\hfill \end{array}$$

Cette valeur de α se rapporte à la date 1993,43. On calcule de la même manière les valeurs de α pour les autres indices de mortalité adulte avec leurs dates respectives.

Le tableau 4 récapitule ces estimations de α et leurs dates.

Tableau 4 Valeurs de α, avec leurs dates de référence. République Dominicaine, 2002

Enfants				Adultes
Indice original	α	Date		Indice original	α	Date
q(1)	-0,4389	2001,71		10p25	-0,5176	1999,23
q(2)	-0,4519	2000,24		15p25	-0,6183	1997,07
q(3)	-0,6112	1998,48		20p25	-0,5779	1995,13
q(5)	-0,5266	1996,43		25p25	-0,5021	1993,43
q(10)	-0,4288	1994,16		30p25	-0,4567	1992,02
q(15)	-0,3803	1991,52		35p25	-0,4463	1991,00
q(20)	-0,3483	1987,99		40p25	-0,4436	1990,51

Avec toutes les valeurs estimées de α pour la mortalité des enfants et celle des adultes et leurs dates de référence respectives, on construit le graphique de la figure 1.

Figure 1 Premier graphique des valeurs de α et de leurs dates de référence pour la mortalité des enfants et celle des adultes. République Dominicaine

Étape 4 : Éliminer du graphique des valeurs de α les points qui s’écartent trop de la tendance générale 

La section sur l’estimation indirecte de la mortalité des enfants explique que la mesure indirecte la plus récente de la mortalité des enfants, basée sur les déclarations des femmes âgées de 15 à 19 ans, a tendance à être biaisée vers le haut, parce que les mères très jeunes constituent un groupe spécifique dont les enfants font face à des risques de mortalité élevées car, entre autres raisons, ces mères viennent généralement de milieux socialement défavorisés. Cette première estimation est presque toujours ignorée quand on détermine la tendance de la mortalité des enfants sur la base d’estimations indirectes, et c’est ce que nous avons fait dans cet exemple.

L’estimation la plus récente de la mortalité adulte, basée sur les déclarations des enfants de 5 à 9 ans quant à la survie de leur mère, dans le cadre de la méthode des proportions d’orphelins déclarées dans un seul recensement, sous-estime aussi la mortalité dans bien des cas. Mais en République Dominicaine, cette donnée s’avère beaucoup plus élevée que ce que l’on pouvait attendre au vu de la tendance indiquée par les autres estimations de mortalité adulte féminine. Cela pourrait résulter d’un fort sous-enregistrement des âges des enfants, ou signifier que les modèles impliqués dans le processus d’estimation ne conviennent pas pour cette population. Quoi qu’il en soit, nous avons décidé d’ignorer cette estimation anormale. Ainsi, le point le plus récent de chacune des deux séries d’estimations a été écarté du processus d’ajustement linéaire des α en vidant les cellules correspondantes de la feuille « Alpha plots » de la feuille Excel disponible en ligne.

Les autres estimations obtenues par la méthode des proportions d’orphelins sont cohérentes entre elles et indiquent que la mortalité féminine a rapidement chuté en République Dominicaine pendant les années 1990. Les indices de mortalité des enfants indiquent aussi une baisse de mortalité, mais les estimations les plus récentes sont quelque peu contradictoires. Selon les 3^e et 4^e points, basés sur les déclarations des mères de 25 à 34 ans, le rythme de la baisse de la mortalité des enfants se serait accéléré dans la seconde moitié des années 1990. Cependant, le 2^e point, fondé sur les déclarations des femmes de 20 à 24 ans, suggère plutôt un ralentissement. En l’absence de certitudes sur la nature des erreurs qui ont conduit à ces incohérences, nous avons décidé d’écarter ces trois points de notre analyse.

La sélection finale aboutit au graphique de la figure 2. Ce graphique met en évidence la cohérence des points 2 à 7 de la mortalité adulte et montre qu’une droite de régression calculée sur les points 2 à 7 de la mortalité des enfants non seulement passe au milieu des estimations les plus récentes, mais s’ajuste aussi bien aux trois estimations plus anciennes.

Figure 2 Graphique définitif des valeurs de α et de leurs dates de référence, pour la mortalité des enfants et celle des adultes. République Dominicaine

Notons que, sur la figure 2, les valeurs de α basées sur les estimations de la mortalité adulte sont inférieures à celles qui proviennent des estimations de la mortalité des enfants et s’en écartent avec le temps. Cela signifie que, comparativement au standard Amérique Latine des Nations Unies, la mortalité adulte des années 1990 en République Dominicaine était basse et diminuait plus rapidement que la mortalité des enfants. Le paramètre β des tables ajustées pour cette population sera alors inférieur à 1 et diminuera au fil du temps.

Étape 5 : Déterminer la tendance de β par itération 

Le tableur calcule par itération les valeurs ajustées de α et β à la date voulue (1997,5). Les estimations de α^* et β^* sont respectivement -0,658 et 0,849. Elles signifient que le niveau de la mortalité en République Dominicaine est un peu plus faible que dans la table standard Amérique Latine (α < 0), et que la mortalité est légèrement plus forte aux jeunes âges et légèrement plus faible aux âges élevés (β < 1) que dans ce standard. L’estimation de β^* est suffisamment proche de 1 pour ne pas susciter d’inquiétude quant au choix du standard qui a été fait à l’étape 2.

Étape 6 : Examiner les valeurs ajustées de α 

L’avant-dernière étape consiste à examiner le graphique des valeurs de α obtenu après la procédure itérative d’ajustement, c’est-à-dire le deuxième graphique de la feuille des « alpha plots » du manuel d’exercices en ligne.

Figure 3 Graphique des valeurs de α après l’ajustement de β par itération. République Dominicaine

La figure 3 montre qu’il y a maintenant une étroite proximité entre les α des enfants et ceux des adultes pendant la plus grande partie des années 1990. La mortalité était en baisse à tous les âges, bien que β ait diminué d’environ 0,95 à 0,85 entre le début des années 1990 et le milieu de 1997. C’est bien ce à quoi il fallait s’attendre, puisque nous avons déjà vu que la mortalité adulte en République Dominicaine, à cette époque, diminuait plus rapidement que dans les valeurs logits basées sur le standard Amérique Latine des tables-types des Nations Unies.

Les courbes des enfants et des adultes restent très proches l’une de l’autre en 1997, ce qui reflète la proximité entre la valeur de β à cette époque (0,85) et sa valeur centrale, 1. Les deux estimations de α de 1997 ne s’écarteraient franchement l’une de l’autre que si β, à la même époque, était très différent de 1. En ce cas, il serait conseillé de chercher une table standard plus appropriée à la situation de la population étudiée.

Si les deux séries d’estimations suivaient des tendances très différentes et ne se coupaient pas, ou divergeaient rapidement après leur intersection, ou si le profil de l’une d’elles ou des deux n’était pas du tout linéaire, cela signifierait de nouveau que la table standard utilisée ne convenait pas ou, plus probablement, que l’une ou l’autre série était sérieusement biaisée par des erreurs dans les données, ce qui rendrait impossible toute tentative de les concilier l’une avec l’autre.

Étape 7 : Construction d’une table de mortalité ajustée 

On calcule la table de mortalité abrégée à partir des valeurs ajustées α^* = -0,658 et β^* = 0,849 à la date choisie et de la table standard (présentée dans le tableau 3) au moyen de la formule suivante :

$$l^{*}(x)=\frac{1}{1+\exp (2({\alpha }^{*}+{\beta }^{*}.Y^s(x)))}.$$

La table ajustée finale est détaillée dans le tableau 5. L’espérance de vie à la naissance est de 76,6 ans, à comparer avec l’estimation des Nations Unies pour la même période de cinq ans, 73,1 ans (UN Population Division, 2013).

Tableau 5 Table de mortalité féminine ajustée. République Dominicaine, milieu de 1997

Âge (x)	l(x)
0	1,0000
1	0,9683
2	0,9603
3	0,9561
4	0,9536
5	0,9518
10	0,9476
15	0,9455
20	0,9426
25	0,9386
30	0,9337
35	0,9278
40	0,9204
45	0,9118
50	0,9008
55	0,8865
60	0,8657
65	0,8348
70	0,7863
75	0,7120
80	0,6029
85	0,4452
90	0,2587
95	0,1024
100	0,0242

Description détaillée de la méthode

Le tableur en ligne applique la méthode en suivant les étapes décrites ci-dessus. Cette section expose en détail la procédure itérative employée pour calculer les valeurs finales de α et β.

Le premier principe qui sous-tend cette procédure est que la table de mortalité obtenue devra recouper parfaitement les données observées à 15 ans et à 60 ans. La première de ces deux contraintes garantit que la mortalité des enfants et des adolescents est correctement représentée ; la combinaison des deux conditions garantit que la mortalité adulte entre 15 et 60 ans est proche de celle qu’impliquent les estimations de mortalité adulte utilisées pour ajuster la table.

Procédure d’ajustement

Une fois désignés les points à retenir pour la suite des calculs (voir l’étape 4), la méthode vise à déterminer le modèle de régression linéaire qui représente le mieux l’évolution dans le temps de α pour les enfants, conditionné par la tendance de β, et le modèle de régression linéaire qui représente le mieux l’évolution de β pour les adultes, conditionné par la tendance de α pour les enfants.

En partant de l’hypothèse que β = 1, on peut calculer un α^child correspondant à chaque estimation de mortalité des enfants au moyen de l’équation présentée à l’étape 3 de l’exemple. Comme chaque estimation de α^child est associée à sa date de référence (T), on peut ajuster une droite de régression linéaire sur les estimations incluses dans la procédure d’ajustement par rapport au temps pour obtenir la pente S(α) et l’ordonnée à l’origine Z(α).

Les coefficients de la régression obtenus peuvent ensuite servir à calculer une valeur ajustée de α (α^*) pour les dates auxquelles se rapportent les estimations de mortalité adulte :

$${\alpha }^{*}=Z(\alpha )+T.S(\alpha ).$$

Avec ces valeurs ajustées de α^child, on peut calculer Y(15) aux mêmes dates :

$$Y(15)={\alpha }^{*}+{\beta }^{*}{Y}^s(15),$$

c’est la première itération avec β^* = 1.

Toujours en faisant l’hypothèse que β = 1, on peut aussi calculer α^adult à partir des estimations conditionnelles de survie des adultes qui ont été introduites dans la procédure d’ajustement, en utilisant l’équation de l’étape 3, et employer ces valeurs de α^adult pour calculer les estimations correspondantes de ₄₅q₁₅. En multipliant la valeur de l(15), déduite de l’estimation de la mortalité des enfants, par une estimation de ₄₅q₁₅ à la même date, basée sur les données de mortalité adulte, on obtient une estimation non conditionnelle de l(60) et donc de Y(60) :

$$Y(60)=-\frac{1}{2}\ln \left(\frac{l(60)}{1-l(60)}\right)=-\frac{1}{2}\ln \left(\frac{l(15){.}_{45}{p}_{15}}{1-l(15){.}_{45}{p}_{15}}\right).$$

L’estimation de l(15) se déduit de Y(15) :

$$l(15)=\frac{1}{1+\exp (2Y(15))},$$

tandis que celle de ₄₅p₁₅ se calcule à partir des valeurs de α et β ajustées aux estimations de mortalité adulte :

$${}_{45}{p}_{15}=\frac{l(60)}{l(15)}=\frac{(1+\exp (2({\alpha }^{adult}+{\beta }^{*}(Y^s(15)))))}{(1+\exp (2({\alpha }^{adult}+{\beta }^{*}(Y^s(60)))))}$$

où Y ^s(x) représente le logit de l(x) dans la table de mortalité standard (c’est-à-dire avec β = 1 et α = 0) et où β^*, pour cette première itération, est égal à 1.

Ayant estimé une série de valeurs de Y(60) pour les dates auxquelles se rapportent les estimations de mortalité adulte, on peut maintenant calculer des valeurs corrigées de β pour ces dates :

$$\beta =\frac{Y(60)-Y(15)}{Y^s(60)-Y^s(15)}.$$

Comme chacune de ces valeurs corrigées de β se rapporte à une date particulière, on peut procéder à une régression de β par rapport au temps (T) pour obtenir la pente S(β) et l’ordonnée à l’origine Z(β) d’une droite de régression linéaire, qui servira ensuite au calcul d’une valeur ajustée de β (β^*) pour chaque point, qu’il s’agisse de mortalité des enfants ou de mortalité adulte, et chaque date correspondante (T) :

$${\beta }^{*}=Z(\beta )+T.S(\beta ).$$

Le premier cycle d’itération est ainsi achevé. On peut alors calculer des estimations corrigées de α^child, qui tiennent compte du fait que β peut maintenant s’écarter de 1, avec la formule suivante :

$${\alpha }^{child}=\text{logit}(q_x)-{\beta }^{*}.Y^s(x).$$

On procède ensuite à une régression des estimations corrigées de α^child par rapport au temps, et on combine celles-ci avec celles de β aux dates auxquelles se rapportent les estimations de mortalité adulte, afin de calculer des valeurs corrigées de Y(15), ₄₅q₁₅ et Y(60) et de lancer un deuxième round de calcul de valeurs corrigées de β. Nous avons ainsi mis en place un mécanisme itératif qui déterminera les meilleures régressions de α et β par rapport au temps, chacune tenant compte de l’autre.

Développement de la formule de calcul de α pour la mortalité adulte

$$\begin{array}{l}{}_n{p}_x=\frac{l(x+n)}{l(x)}=\left[\frac{1+e^{2(\alpha +\beta Y^s(x))}}{1+e^{2(\alpha +\beta Y^s(x+n))}}\right]\hfill \\ {}_n{p}_x{+}_n{p}_x.e^{2(\alpha +\beta Y^s(x+n))}=1+e^{2(\alpha +\beta Y^s(x))}\hfill \\ e^{2\alpha }.{(}_n{p}_x.e^{2\beta Y^s(x+n)}-e^{2\beta Y^s(x)})=1{-}_n{p}_x\hfill \\ e^{2\alpha }=\frac{1{-}_n{p}_x}{{}_n{p}_x.e^{2\beta Y^s(x+n)}-e^{2\beta Y^s(x)}}\hfill \\ \alpha =\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1{-}_n{p}_x}{{}_n{p}_x.e^{2\beta Y^s(x+n)}-e^{2\beta Y^s(x)}}\right)\hfill \\ \alpha =\frac{1}{2}\left\{\ln (1{-}_n{p}_x)-\ln \left({}_n{p}_x.e^{2\beta Y^s(x+n)}-e^{2\beta Y^s(x)}\right)\right\}.\hfill \end{array}$$

Références

Brass W. 1975. Methods for Estimating Fertility and Mortality from Limited and Defective Data. Chapel Hill: International Program of Laboratories for Population Statistics.

Brass W. 1985. Advances in Methods for Estimating Fertility and Mortality from Limited and Defective Data. London: London School of Hygiene & Tropical Medicine.

Brass W and EA Bamgboye. 1981. The Time Location of Reports of Survivorship: Estimates for Maternal and Paternal Orphanhood and the Ever-widowed. London: London School of Hygiene & Tropical Medicine.

Feeney G. 1980. "Estimating infant mortality trends from child survivorship data", Population Studies 34(1):109-128. doi: http://dx.doi.org/10.1080/00324728.1980.10412839

Feeney G. 1991. "Child survivorship estimation: Methods and data analysis", Asian and Pacific Population Forum 5(2-3):51-55, 76-87. http://hdl.handle.net/10125/3600.

Timæus IM. 1990. "Advances in the Measurement of Adult Mortality from Data on Orphanhood." Unpublished PhD thesis, London: University of London.

UN Population Division. 2013. World Population Prospects: The 2012 Revision. New York: United Nations, Department of Economic and Social Affairs. http://esa.un.org/wpp/index.htm

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